《平面向量应用举例》名师课件

名师课件0平面向量应用举例名师：廖俊宇知识回顾问题探究课堂小结随堂检测平面向量的平行四边形法则、三角形法则平面向量的基本定理检测下预习效果：点击“随堂训练”选择“《平面向量应用举例》预习自测”a·b=|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b=0．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0探究一：平面向量解决平面几何中问题的优越性①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．综合方法、解析方法、向量方法．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0证明：方法一：如图．作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则Rt△ADF≌Rt△BCE．∴AD＝BC，AF＝BE．由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．BD2＝BF2＋DF2＝(AB－AF)2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AF2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AD2＝AB2－2AB·BE＋BC2．∴AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0方法二：如图．以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系．设B(a，0)，D(b，c)，则C(a＋b，c)．∴|AC|2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋2ab＋b2＋c2，|BD|2＝(a－b)2＋(－c)2＝a2－2ab＋b2＋c2．∴|AC|2＋|BD|2＝2a2＋2(b2＋c2)＝2(|AB|2＋|AD|2)．方法三：设

＝a，

＝b，则

＝a＋b，

＝a－b，||2＝|a|2，||2＝|b|2．∴||2＝

·＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝|a|2＋2a·b＋|b|2．①同理||2＝|a|2－2a·b＋|b|2．②观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得||2＋||2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(||2＋||2)，知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0探究二：平面几何在物理中的应用两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．这些问题是为什么？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F1|=|F2|，

由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到.|F1|=通过上面的式子我们发现，当θ由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，|F1|由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．思考θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？θ=0时，|F1|最小，等于.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究三：应用示例例1．如下图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？【解题过程】(km/h)，所以，(min)．【思路点拨】如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0例2．如图，

ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？【解题过程】如图，设

＝a，

＝b，

＝r，

＝t，则

＝a＋b．由于

与

共线，所以我们设r＝n(a＋b)，n∈R．又因为

＝

－

＝a－

b，

与

共线，所以我们设

＝m＝m(a－

b)．因为

＝

＋

，所以r＝

b＋m(a－

b)．因此n(a＋b)＝

b＋m(a－

b)，即(n－m)a＋(n＋

)b＝0．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0【思路点拨】探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR＝RT＝TC．由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须解得n＝m＝

．所以

＝

．同理

＝

．于是

＝

．所以AR＝RT＝TC．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求

的值．【解题过程】方法一：(基向量法)设

＝a，

＝b，|a|＝1，|b|＝2．a·b＝|a||b|cos60°＝1，

＝a＋b．设

＝λ＝λb，则

＝

－

＝λb－a．由AE⊥BD，得

·＝0．即(λb－a)·(a＋b)＝0．解得λ＝，∴．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测方法二：以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0，0)，C(2，0)，A，D．又设E(m，0)，则，．由AE⊥BD，得

＝0．即，得m＝，∴．【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测0（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．重难点突破