第二章平面向量章末回顾

11/11第二章平面向量章末回顾（蒋勇）一、思维导图二、章末检测题（一）、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列关于向量的叙述，正确的个数是()①向量的两个要素是大小与方向；②长度相等的向量是相等向量；③方向相同的向量是共线向量．A．0 B．1C．2 D．3【知识点】向量的概念【数学思想】分析问题【解题过程】②长度相等的向量，还有方向相同才是相等向量。①③正确，长度相等的向量不一定是相等向量，相等向量要求长度相等，方向相同．【思路点拨】对向量的概念一定要熟悉。【答案】C2．已知向量＝(1，eq\r(3))，＝(eq\r(3)＋1，eq\r(3)－1)，则与的夹角为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(3π,4)【知识点】向量的数量积【数学思想】计算能力【解题过程】，夹角为eq\f(π,4)【思路点拨】向量的数量积的公式【答案】A3．设，是共线的单位向量，则|＋|的值是()A．等于2 B．等于0C．大于2 D．等于0或等于2【知识点】共线的单位向量【数学思想】数形结合【解题过程】，，是共线的单位向量，，可能是同向或是反向，故|＋|的值是等于0或等于2。【思路点拨】共线向量表示方向相同或相反。【答案】D4．已知向量＝(2,1)，，||＝5eq\r(2)，则||＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．5 D．25【知识点】向量的运算【数学思想】计算能力【解题过程】∵＝(2,1)，∴||＝eq\r(5)，∵＝50，∴故，【思路点拨】向量的运算【答案】C5．下列说法正确的是()A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C．|＋|＝|－|，则D．若与是单位向量，则【知识点】向量【数学思想】数形结合【解题过程】单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；当时，与可以为任意向量；|＋|＝|－|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D项还要考虑夹角．【思路点拨】向量的概念【答案】C6．已知平面向量＝(1，－3)，＝(4，－2)，与垂直，则＝()A．－1 B．1C．－2 D．2【知识点】向量垂直【数学思想】计算能力【解题过程】由题意，＝(1，－3)，∵与垂直，∴·＝＋4＋(－3)·(－3－2)＝10＋10＝0，∴＝－1.【思路点拨】向量垂直，数量积为零【答案】A7．设向量＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，用，作基底可将表示为，则实数的值为()A．＝4，＝1 B.＝1，＝4C．＝0，＝4 D.＝1，＝－4【知识点】向量的基本定理【数学思想】计算能力【解题过程】∵，∴解得【思路点拨】向量的坐标表示.【答案】B8．若向量＝(3，)，＝(2，－1)，·＝0，则实数的值为()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)C．2 D．6【知识点】向量垂直【数学思想】计算能力【解题过程】依题意得6－＝0，＝6，选D.【思路点拨】数量积为零【答案】D9．若，是非零向量，且⊥，||≠||，则函数是()A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数【知识点】向量运算【数学思想】函数思想【解题过程】由题设知，因为||≠||，所以，所以函数是一次函数且为奇函数．【思路点拨】数量积为零【答案】A10．设，已知两个向量，则向量长度的最大值是()A.B.C. D.【知识点】向量的模.【数学思想】运算能力【解题过程】∵＝－＝，∴||＝【思路点拨】向量坐标运算、模。【答案】C11．设、、是单位向量，且·＝0，则(－)·(－)的最小值为()A．－2 B.eq\r(2)－2C．－1 D．1－eq\r(2)【知识点】最值【数学思想】运算能力【解题过程】法一设＝(1,0)，＝(0,1)，＝(，)，则－＝(1－，－)，－＝(－，1－)，(－)·(·)＝－(1－)－(1－)＝1－(＋)＝1－eq\r(2)，则其最小值是1－eq\r(2)，选D.法二(－)·(－)＝·－·－·＋2＝1－(＋)·＝1－|＋|·||·，∵|＋|＝eq\r(2)，||＝1，最大值为1.∴(－)·(－)的最小值为1－eq\r(2).【思路点拨】1、坐标运算。2、向量的数量积【答案】D12．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是()A．2B．0C．－1D．－2【知识点】向量的数量积及在几何中的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】由平行四边形法则得，故，，且、反向，设＝(0≤≤2)，则＝－2(2－)＝2(2－2)＝2(－1)2－1．∵0≤≤2，∴当＝1时，取最小值，为－2，【思路点拨】向量的数量积及在几何中的应用。【答案】D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．已知平面向量，，||＝1，||＝2，⊥(－2)，则|2＋|的值是________．【知识点】向量垂直，向量模长【数学思想】计算能力【解题过程】由于⊥(－2)，所以·(－2)＝||2－2·＝0，故2·＝1，所以|2＋|＝＝eq\r(4＋2＋4)＝eq\r(10).【思路点拨】·(－2)＝0【答案】eq\r(10)14．给出下列四个结论：①若≠0，且，则＝；②若|·|＝||·||，则∥；③在△ABC中，＝5，＝8，c＝7，则；④设A(4，)，B(6,8)，C(，)，若是平行四边形(为原点)，则∠AOC＝，其中正确的序号是________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．【知识点】向量概念【数学思想】分析问题【解题过程】，故①错；由|·|＝||||可知，∴∥，故②正确；＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2)，∴，故③错；由OABC是平行四边形可得＝2，＝6，则cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，故④正确．【思路点拨】向量的数量积.【答案】②、④15．与＝(12,5)平行的单位向量是________．【知识点】向量单位化【数学思想】计算能力【解题过程】【思路点拨】向量单位化【答案】(eq\f(12,13)，eq\f(5,13))或(－eq\f(12,13)，－eq\f(5,13))16．关于平面向量，，，有下列三个命题：①若·＝·，则＝.②若＝(1，)，＝(－2,6)，∥，则＝－3.③非零向量和满足||＝||＝|－|，则与＋的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)．【知识点】向量的模、夹角、数量积.【数学思想】分析问题【解题过程】当＝0时，①不成立；对于②，若∥，则－2＝6，∴＝－3，②成立；对于③，由于||＝||＝|－|，则以||，||为邻边的平行四边形为菱形，如图，则∠BAD＝60°，＝＋，由菱形的性质可知，与＋的夹角为∠BAC＝30°.【思路点拨】向量的模、夹角、数量积.【答案】②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知||＝2||＝2，且向量在向量的方向上的投影为－1，求：(1)与的夹角；(2)(－2)·.【知识点】向量的投影、夹角、数量积【数学思想】运算能力【解题过程】(1)由题意，||＝2，||＝1，||＝－1，∴·＝|||b|＝－||＝－1.∴.由于θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)为所求．(2)(－2)·＝·－22＝－1－2＝－3.【思路点拨】用向量的投影、夹角、数量积的公式计算。【答案】eq\f(2π,3)、－318．(12分)已知向量，不共线，＝＋，＝－.(1)若∥，求的值，并判断，是否同向；(2)若||＝||，与的夹角为60°，当为何值时，⊥？【知识点】向量的共线、向量的夹角、向量垂直的条件【数学思想】运算能力，分析问题【解题过程】(1)因为∥，所以＝λ，即＋＝λ(－)．又，不共线，∴，得。即＝－，故与反向．(2)·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝(－1)2＋(1－)||2·cos60°，又⊥，故(k－1)2＋2＝0，即(－1)＋＝0，解得k＝1.【思路点拨】用向量的共线、夹角、垂直的公式计算。【答案】（1）与反向、（2）＝119．(12分)已知||＝3，||＝4，且满足(2－)·(＋2)≥4，求与的夹角的范围．【知识点】向量的数量积，最值。【数学思想】运算能力【解题过程】∵(2－)·(＋2)＝22＋3·－22＝2×32＋3·－2×42＝3·－14，由(2－)·(＋2)≥4，∴3·－14≥4，∴·≥6.∴.∴与的夹角满足0≤≤eq\f(π,3).【思路点拨】数量积计算。【答案】0≤≤eq\f(π,3)20．(12分)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在上是否存在点，使⊥，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【知识点】共线向量【数学思想】数形结合【解题过程】设存在点，使⊥.则存在实数使，∴，＝(3－6，1－3)．设(2－6)(3－6)＋(5－3)(1－3)＝0.∴452－48＋11＝0，解得＝eq\f(1,3)或＝eq\f(11,15).∴＝(2,1)或＝(eq\f(22,5)，eq\f(11,5))，即存在满足题意的(2,1)或(eq\f(22,5)，eq\f(11,5))．【思路点拨】设实数使表示点的坐标，结合数量积为零。【答案】(2,1)或(eq\f(22,5)，eq\f(11,5))与的夹21．(12分)已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(－)⊥；(2)若|＋＋|>1(k∈R)，求的取值范围．【知识点】向量的模、夹角、垂直。【数学思想】数形结合、运算能力。【解题过程】(1)证明：∵||＝||＝||＝1，且、、之间的夹角均为120°，∴(－)·＝·－·＝||||cos120°－||||cos120°＝0.∴(－)⊥.(2)解：∵|＋＋|>1，∴|＋＋|2>1.∴(＋＋)·(＋＋)>1.∴＋·＋·＋2·＋2·＋2·>1.∵·＝·＝·＝cos120°＝－eq\f(1,2)，∴－2>0，∴<0或>2.【思路点拨】向量的垂直、模、夹角的公式。【答案】（1）略，（2）<0或>222．(12分)已知中，边上的高为.(1)求证：⊥；(2)求点和向量的坐标；(3)设，求；(4)求证：.【知识点】向量的共线、坐标、夹角【数学思想】数形结合【解题过程】解析(1)＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴⊥.(2)设点坐标为，则．∵⊥，∴·.①又，而与共线，∵，②