2025届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节数系的扩充与复数的引入课时规范练理含解析新人教版

PAGE第三节数系的扩充与复数的引入[A组基础对点练]1．设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：由eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，此复数对应的点在其次象限．答案：B2．若z＝4＋3i，则eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A．1 B．－1C．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i解析：eq\f(\x\to(z),|z|)＝eq\f(4－3i,\r(42＋32))＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.答案：D3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数aA．1 B．2C．1或2 D．－1解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.答案：B4．下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)解析：由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选项C正确．答案：C5．已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2i B．2iC．－4i D．4i解析：由已知可得zi＝4，所以z＝eq\f(4,i)＝－4i.答案：C6．已知复数eq\f(\x\to(z),1＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．－1＋3i B．1－3iC．－1－3i D．1＋3i解析：由题意得eq\x\to(z)＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，所以z＝1－3i.答案：B7.eq\f(1＋2i,（1－i）2)＝()A．－1－eq\f(1,2)i B．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)i D．1－eq\f(1,2)i解析：eq\f(1＋2i,（1－i）2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(（1＋2i）i,2)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.答案：B8．设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，则z1－z2＝(a1＋b1i)－(a2＋b2i)＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，若z1－z2是虚数，则b1－b2≠0，所以b1，b2不能都为零，即“z1，z2中至少有一个数是虚数”；若“z1，z2中至少有一个数是虚数”，则b1，b2至少有一个不为零，但是有可能b1－b2＝0，比如1＋i，2＋i都是虚数，但是它们的差为实数，所以“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的必要不充分条件．答案：B9．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.答案：B10．(2024·北京丰台质检)已知i是虚数单位，且复数z1＝3－bi，z2＝1－2i.若eq\f(z1,z2)是实数，则实数b的值为()A．－6 B．6C．0 D．eq\f(1,6)解析：∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－bi,1－2i)＝eq\f(（3－bi）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(3＋2b,5)＋eq\f(（6－b）i,5)，∵eq\f(z1,z2)是实数，∴eq\f(6－b,5)＝0，∴b＝6.答案：B11．i是虚数单位，复数z满意(1＋i)z＝2，则z的实部为________．解析：因为z＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，所以z的实部是1.答案：112．|1＋eq\r(2)i|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3)i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝__________．解析：原式＝eq\r(12＋（\r(2)）2)＋eq\f(（1－\r(3)i）2,（1＋i）2)＝eq\r(3)＋eq\f(－2－2\r(3)i,2i)＝eq\r(3)＋eq\f(－2,2i)＋eq\f(－2\r(3)i,2i)＝i.答案：i[B组素养提升练]1．若复数z满意2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则eq\x\to(z)＝a－bi，2z＋eq\x\to(z)＝3a＋bi，又2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，所以3a＋bi＝3－2i，故可得a＝1，b＝－2，即z＝1－2i.答案：B2．(2024·河北六校联考)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则eq\f(z1,z2)＋|z2|＝()A．2＋2i B．2－2iC．－2＋i D．－2－i解析：由题意知z1＝2－i，z2＝－i，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－i,－i)＝eq\f(（2－i）i,－i2)＝1＋2i，|z2|＝1，故eq\f(z1,z2)＋|z2|＝2＋2i.答案：A3．若复数z满意|z－i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则|z－i|＝|a＋(b－1)i|＝eq\r(（a－0）2＋（b－1）2)≤eq\r(2)，所以(a－0)2＋(b－1)2≤2，复数z在复平面内所对应的图形是以(0，1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆，面积为2π.答案：2π4．复数z1，z2满意z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是________．解析：由复数相等的充要条件可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2cosθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))消去m得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,8)