2024-2025学年高中数学第三章不等式1不等关系学案含解析北师大版必修5

PAGE第三章不等式§1不等关系学习目标1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系(数学抽象)2.会用不等式(组)正确表示出不等关系(逻辑推理)3.理解并驾驭不等式的常用基本性质(数学抽象)【必备学问·自主学习】导思1.如何比较实数大小?2.不等式性质有哪些?1.不等关系在数学意义上,不等关系可以体现为以下几种:(1)常量与常量之间的不等关系.(2)变量与常量之间的不等关系.(3)函数与函数之间的不等关系.(4)一组变量之间的不等关系.【思索】表示不等关系的数学不等号有哪些?提示:表示不等关系的数学不等号有>,<,≥,≤,≠.2.实数比较大小法则随意两个实数a,b都能比较大小:(1)假如a-b>0,那么a>b.(2)假如a-b<0,那么a<b.(3)假如a-b=0,那么a=b.【思索】如何比较两个实数的大小?提示:比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小,也可以比较它们的商与1的大小.3.不等式的八特性质①对称性:a>b⇔b<a;②传递性:a>b,b>c⇒a>c;③同加性:a>b⇔a+c>b+c;④同乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;⑤累加性:对于同向不等式QUOTE⇒a+c>b+d;⑥累乘性:对于同向不等式QUOTE⇒ac>bd;⑦不等式的乘方:a>b>0⇒an>QUOTE(n∈N,且n≥2);⑧不等式的开方:a>b>0⇒QUOTE>QUOTE(n∈N,且n≥2).【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)对于实数a与b,a2+b2≥2ab. ()(2)对于实数a与b,若a>b,则a2>b2. ()(3)对于实数a与b,若a>b,则a3>b3. ()(4)若a>b,则ac>bc. ()(5)a2肯定大于a. ()提示:(1)√.对于实数a与b,(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.(2)×.对于实数a与b,若a>b>0,则a2>b2;若a>0>b,则a2>b2不肯定成立.(3)√.对于实数a与b,若a>b>0,则a3>b3;若a>0>b,则a3>0>b3;若0>a>b,则0<-a<-b,(-a)3<(-b)3,即-a3<-b3,所以a3>b3.综上所述,对于实数a与b,若a>b,则a3>b3.(4)×.当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac<bc.(5)×.当0≤a≤1时,a2≤a.2.(2024·上海高一检测)若a<0<b,则下列不等式恒成立的是()A.QUOTE>QUOTE B.-a>b C.a2>b2 D.a3<b3【解析】选D.因为a<0<b,所以可设a=-1,b=1,从而可知A,B,C错误;对于D,依据幂函数的性质即可推断正确.3.(教材二次开发:例题改编)比较大小(用“>”“<”填空):(1)a+6a-1;(2)a2-a【解析】(1)由(a+6)-(a-1)=7>0,知a+6>a-1.答案:>(2)由(a2-a)-(a-2)=a2-2a+2=(a-1)2+1>0,知a2-a>a-2.答案:>【关键实力·合作学习】类型一用不等式表示不等关系(数学抽象)【题组训练】1.今日的天气预报说:明天早晨最低温度为9℃,白天的最高温度为16℃,那么明天白天的温度t℃满意的不等关系为.

2.如图,在一个面积为350m2的矩形地基上建立一个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍,上述不等关系可用W3.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应削减2000本.若把提价后杂志的售价设为x元,用不等式表示销售的总收入不低于20万元为.

【解析】1.白天的温度介于最低温度与最高温度之间,故9≤t≤16.答案:9≤t≤162.仓库的长L=QUOTE-10,所以QUOTE-10>4W.答案:QUOTE-10>4W3.售价为x元时的销量为8-QUOTE×0.2,故销售总收入不低于20万元表示为QUOTE·x≥20.答案:QUOTE·x≥20【解题策略】(1)常见的文字语言与数学符号之间的转换文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(2)列不等式表示不等关系的步骤①分析题意,找出题中的各种量;②找寻各种量之间的相等或不等关系;③用代数式表示各种量;④用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来.【补偿训练】某种植物相宜生长的地方为18℃-20℃的山区,已知山区海拔每上升100m,气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃,该植物种在山区多高处为宜【解析】设该植物相宜的种植高度为xm,由题意得18≤22-QUOTE≤20.类型二不等式性质的应用(逻辑推理)【典例】已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:QUOTE>QUOTE.四步内容理解题意分式证明可借助不等式性质.思路探求依据已知条件得出a-c与b-d的大小,从而得到QUOTE与QUOTE的大小,再利用e<0得出结论.书写表达因为c<d<0,所以-c>-d>0,又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<QUOTE<QUOTE.又因为e<0,所以QUOTE>QUOTE.题后反思在利用不等式的性质,解决与不等式有关的问题时,常常利用核心素养中的逻辑推理,通过对其条件与结论的分析,利用不等式的性质,探究论证的思路,选择合理的论证方法予以证明.【解题策略】利用不等式的性质证明不等式(1)不等式的性质是证明不等式的基础,对随意两个实数a,b,有a-b>0⇒a>b;a-b=0⇒a=b;a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据,也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式,关键要对性质正确理解和运用,要弄清晰每一条性质的条件和结论,留意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.说明:运用不等式的性质推断不等式是否成立时要留意不等式成立的条件,不要弱化条件,更不要想当然地运用一些不存在的性质.【跟踪训练】1.(2024·济南高一检测)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是 ()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ab>0,bc-ad>0,则QUOTE-QUOTE<0C.若a>b,c>d,则a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,则QUOTE>QUOTE【解析】选C.若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错;若ab>0,bc-ad>0,则QUOTE>0,化简得QUOTE-QUOTE>0,故B错;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C对;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则QUOTE=-1,QUOTE=-1,QUOTE=QUOTE=-1,故D错.2.已知1<a<4,2<b<8.试求2a+3b与a-b的取值范围.【解析】因为1<a<4,2<b<8,所以2<2a<8,6<3b<24,所以8<2a+3b<32.因为2<b<8,所以-8<-b<-2.又因为1<a<4,所以1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是(8,32),a-b的取值范围是(-7,2).类型三比较大小(逻辑推理)角度1作差法比较大小

【典例】(2024·贺州高一检测)已知a>0,b>0,且a≠b,比较QUOTE+QUOTE与a+b的大小.【思路导引】将QUOTE+QUOTE与a+b进行作差、化简,然后利用a>0,b>0,a≠b推断式子的正负,即可得出大小关系.【解析】QUOTE-(a+b)=QUOTE=QUOTE.因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,所以QUOTE>0,故QUOTE+QUOTE>a+b.【变式探究】已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),因为x2-x+1=QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,所以当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.角度2作商法比较大小

【典例】若m>2,则mm与2m的大小关系是【思路导引】比较mm与2m大小,假如作差,则不能再变形化简,可尝试作商再变形化简,与1比较大小即可得出结论【解析】因为QUOTE=QUOTE,又m>2,所以QUOTE>1,所以QUOTE>1,又2m>0,故mm>2m.答案:mm>2【解题策略】比较大小的方法(1)作差法:比较两个代数式的大小,可以依据它们的差的符号进行推断,一方面留意题目本身供应的字母的取值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘,或通过配方转化为几个非负实数之和,然后推断正负.作差法的一般步骤:作差——变形——判号——定论.(2)作商法:作商比较通常适用于两代数式同号的情形,然后比较它们的商与1的大小.作商法的一般步骤:作商——变形——与1比较大小——定论.(3)单调性法:利用函数单调性比较大小,通常先构造一个函数,再利用单调性.提示:在用“比较法”时,有时可先将原数或式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特别值法比较大小.【题组训练】1.已知0<a<QUOTE,且M=QUOTE+QUOTE,N=QUOTE+QUOTE,则M,N的大小关系是.

【解析】因为0<a<QUOTE,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=QUOTE+QUOTE=QUOTE>0,即M>N.答案:M>N2.若a>b>0,比较aabb与abba的大小.【解析】QUOTE=aa-bbb-a=(QUOTE)a-b,因为a>b>0,所以QUOTE>1,a-b>0,所以(QUOTE)a-b>1,即QUOTE>1,又因为a>b>0,所以aabb>abba.3.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R.(2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.【解析】(1)因为x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)≥0.所以当x=±1时,x6+1=x4+x2;当x≠±1时,x6+1>x4+x2.综上所述,x6+1≥x4+x2,当且仅当x=±1时取等号.(2)因为(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=QUOTE且z=1时取等号.【补偿训练】(2024·济南高一检测)已知a∈R,且a≠1,比较a+2与QUOTE的大小.【解析】(a+2)-QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为QUOTE+QUOTE>0恒成立,所以当a-1>0,即a>1时(a+2)-QUOTE>0;当a-1<0,即a<1时,(a+2)-QUOTE<0.综上可知,当a>1时,a+2>QUOTE;当a<1时,a+2<QUOTE.【课堂检测·素养达标】1.某高速马路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于100A.v≤120或d≥100 B.QUOTEC.v≤120 D.d≥100【解析】选B.最大限速与车距是同时的.2.若实数a,b满意0<a<1,-1<b<1,则a+2b的取值范围是 ()A.(-2,3) B.(-3,2) C.(2,3) D.(-2,2)【解析】选A.因为-1<b<1,所以-2<2b<2,又因为0<a<1,所以-2<a+2b<3.3.(教材二次开发:习题改编)已知实数a>b>0,c∈R,则下列不等式恒成立的是 ()A.ac<bc B.QUOTE<QUOTEC.QUOTE>QUOTE D.ac≥bc【解析】选C.当c≥0时,不等式ac<bc不成立,A错误;QUOTE-Q