2024-2025学年新教材高中数学2直线和圆的方程2.2.3直线的一般式方程课后素养落实含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十五)直线的一般式方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为()A．6B．2C．－2D．－6A[令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，则a＝2，b＝－4，所以a－b＝6.]2．直线l：xsin30°－ycos30°＋1＝0的斜率是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)A[由直线l的方程xsin30°－ycos30°＋1＝0，得斜率为eq\f(sin30°,cos30°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，故选A．]3．过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是()A．2x－y＋8＝0 B．x－2y＋7＝0C．x＋2y＋4＝0 D．x＋2y－1＝0D[直线x＋2y－9＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，则所求直线的斜率k1＝－eq\f(1,2)，所求直线的点斜式方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x＋3)，即x＋2y－1＝0，故选D．]4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3CA．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0A[法一：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)＝5，,A－2B＋3C＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－5B，,C＝\f(7,3)B，))所以直线方程为－5x＋y＋eq\f(7,3)＝0，即15x－3y－7＝0.法二：由A－2B＋3C＝0得eq\f(1,3)A－eq\f(2,3)B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)))，其方程为y＋eq\f(2,3)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))，即15x－3y－7＝0.故选A．]5．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)经过其次、三、四象限，则A，B，C需满意条件()A．C＝0，AB<0B．AC<0，BC<0C．A，B，C同号D．A＝0，BC<0C[由题可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B).∵直线Ax＋By＋C＝0经过其次、三、四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)<0，,－\f(C,B)<0，))∴A，B，C同号．故选C．]二、填空题6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在－eq\f(4,15)[由题意知a＋2≠0，即a≠－2，令y＝0得x＝eq\f(2a,a＋2)，则eq\f(2a,a＋2)＝3，解得a＝－6，则直线方程为－4x＋45y＋12＝0，即4x－45y－12＝0，令x＝0得y＝－eq\f(4,15).]7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的eq\f(1,2)，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．x－3y＋24＝0[由2x－3y＋12＝0知，斜率为eq\f(2,3)，在y轴上截距为4.依据题意，直线l的斜率为eq\f(1,3)，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.]8．若直线y＝2x与直线(a2－a)x－y＋a＋1＝0平行，则a＝________.2[方程(a2－a)x－y＋a＋1＝0可化为y＝(a2－a)x＋a＋1，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＝2,a＋1≠0))，解得a＝2.]三、解答题9．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值．(2)若l不经过其次象限，求实数a的取值范围．[解](1)由题意知a＋1≠0，即a≠－1，令x＝0得y＝a－2，令y＝0得x＝eq\f(a－2,a＋1)，则eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，解得a＝2或a＝0.(2)方程(a＋1)x＋y＋2－a＝0可化为y＝－(a＋1)x＋a－2.直线l不经过其次象限，则满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．10.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带肯定质量的行李，假如超过规定，则须要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示．(1)求直线AB的方程；(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？[解](1)由题图可知A(60,6)，B(80,10)，则直线AB的两点式方程为eq\f(y－6,10－6)＝eq\f(x－60,80－60)，即x－5y－30＝0.(2)依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克的行李．1．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线D[∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D．]2．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A[因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3．已知直线l的倾斜角为α，sinα＝eq\f(3,5)，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0[因为sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(4,5)，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±eq\f(3,4)，又因为直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为y－5＝eq\f(3,4)(x－3)或y－5＝－eq\f(3,4)(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.]4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为eq\f(1,2)，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．－eq\f(1,2)x＋y－5＝0[由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补，故kPB＝－kPA＝－eq\f(1,2)；又因为PA的直线为x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由x＝2时，y＝3，即直线PB过(2,3)，故PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.]已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．[解]设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设B点坐标为(x,1)．又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，∴由中点坐标公式得D点