2024-2025学年新教材高中数学第九章解三角形单元素养评价练习含解析新人教B版必修第四册

PAGE单元素养评价(一)(第九章)(120分钟150分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,若a=QUOTEb,A=2B,则cosB等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以a=QUOTEb可化为QUOTE=QUOTE.又A=2B,所以QUOTE=QUOTE,所以cosB=QUOTE.2.(2024·唐山高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=QUOTE,B=QUOTE,a=4,则b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】选C.因为QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则cosB= ()A.±QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得sinB=QUOTE.因为b>a,所以B>A,故B有两解,所以cosB=±QUOTE.4.(2024·聊城高一检测)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=4QUOTE,B=45°,S△ABC=2,则b等于 ()A.QUOTE B.5 C.QUOTE D.25【解析】选B.由题意可知,S△ABC=QUOTE×acsinB=QUOTE×4QUOTE×QUOTEa=2,解得a=1,由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB,所以b2=1+32-2×4QUOTE×QUOTE=25,所以b=5.5.(2024·成都高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=ccosA,则△ABC的形态为 ()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【解析】选B.因为b=ccosA且cosA=QUOTE,所以b=ccosA=c×QUOTE=QUOTE,即有c2=a2+b2,所以可推断△ABC为直角三角形.6.在△ABC中a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知abcos(A-B)=a2+b2-c2,tanA=2,a=2QUOTE,则b=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题得cos(A-B)=QUOTE=2cosC,因为cosC=-cos(A+B),所以cosAcosB+sinAsinB=-2(cosAcosB-sinAsinB),化简整理得3cosAcosB-sinAsinB=0,所以tanAtanB=3,又因为tanA=2,所以tanB=QUOTE,sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE.7.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数,且最大角是最小角的2倍,则该三角形的最小角的余弦值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设△ABC的最大角为B,最小角为C,可得出b=a+1,c=a-1,由题意得出B=2C,所以sinB=sin2C=2sinCcosC,所以b=2ccosC,即QUOTE=2cosC,即QUOTE=QUOTE,将b=a+1,c=a-1代入QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,解得a=5,所以b=6,c=4,则cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.(2024·襄阳高一检测)某校运动会开幕式上实行升旗仪式,在坡度为15°的看台上,同一列上的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最终一排的距离为10QUOTEm(如图所示),则旗杆的高度为 ()A.10m B.30m C.10QUOTEm D.20QUOTEm【解析】选B.依题意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°-60°-15°=105°,所以∠BAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE·sin∠ABC=QUOTE×QUOTE=20QUOTE(m),在Rt△ACD中AD=QUOTE·AC=QUOTE×20QUOTE=30(m)即旗杆的高度为30m.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k,则k的值可以是 ()A.QUOTE B.1 C.2 D.3【解析】选BCD.由正弦定理得a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0),因为QUOTE即QUOTE所以k>QUOTE.故选BCD.10.在三角形ABC中,下列命题正确的有 ()A.若A=30°,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0<tanA·tanB<1,则△ABC肯定是钝角三角形C.若cosQUOTEcosQUOTEcosQUOTE=1,则△ABC肯定是等边三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,则△ABC的形态是等腰或直角三角形【解析】选BCD.因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,b<a,所以B只有一个解,故A错误;由0<tanA·tanB<1,即0<QUOTE<1,所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<QUOTE,所以C=π-A-B>QUOTE,故△ABC肯定是钝角三角形,故B正确;因为cosQUOTEcosQUOTEcosQUOTE=1,所以cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=1,所以A=B=C=60°,故C正确;因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=QUOTE或A=B,所以△ABC的形态是等腰或直角三角形,故D正确.11.在△ABC中a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcosA,则下列结论中正确的是 ()A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<QUOTE D.0<sinB<QUOTE【解析】选ABD.因为c-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·QUOTE,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcosA,所以由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA,即sin(A+B)-sinB=2sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA-2sinBcosA=sinB,所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A+B<90°,所以0°<B<30°,0°<A<60°,因此0<sinB<QUOTE,cosA>QUOTE,故C选项错误,D选项正确.12.(2024·枣庄高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且QUOTE∶QUOTE∶QUOTE=9∶10∶11,则下列结论正确的是 ()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为QUOTE【解析】选ACD.因为QUOTE∶QUOTE∶QUOTE=9∶10∶11,所以可设QUOTE(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;因为边c最长,所以三角形中角C最大,又cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以角C为锐角,所以B错误;因为边a最小,所以三角形中角A最小,又cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos2A=2cos2A-1=QUOTE,所以cos2A=cosC,由三角形中角C最大且角C为锐角可得:2A∈QUOTE,C∈QUOTE,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=QUOTE,又sinC=QUOTE=QUOTE,所以2R=QUOTE,解得:R=QUOTE,所以D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在等腰三角形ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是.

【解析】由正弦定理得BC∶AC=sinA∶sinB=1∶2,又底边BC=10,所以AC=20,所以AB=AC=20,所以△ABC的周长是10+20+20=50.答案:5014.(2024·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.

【解析】由正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0.因为A∈(0,π),B∈(0,π),所以sinA≠0,所以sinB+cosB=0,即tanB=-1,所以B=QUOTE.答案:QUOTE15.(2024·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.

【解析】如图,在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,而AB=4,∠ADB=QUOTE,AC=QUOTE=5,sin∠BAC=QUOTE=QUOTE,cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosQUOTEcos∠BAC+sinQUOTEsin∠BAC=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE16.我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了闻名的望海岛问题及二次测望方法:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末三合.从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度500多年,领先欧洲1300多年.其大意为:测量望海岛PQ的高度及海岛离岸距离,在海岸边立两根等高的标杆AB,CD(PQ,AB,CD共面,均垂直于地面),使目测点E与P,B共线,目测点F与P,D共线,测出AE,CF,AC即可求出岛高和距离(如图).若AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,则PQ=;EQ=.

【解析】设∠AEB=α,∠CFD=β,则tanα=QUOTE,tanβ=QUOTE,在△PEF中,QUOTE=QUOTE,得PE=QUOTE=QUOTE,所以PQ=PE·sinα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,EQ=PE·cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2024·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=QUOTE,②csinA=3,③c=QUOTEb这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=QUOTEsinB,C=QUOTE,?

注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】方案一:选条件①.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由①ac=QUOTE,解得a=QUOTE,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c,B=C=QUOTE,A=QUOTE.由②csinA=3,所以c=b=2QUOTE,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2QUOTE.方案三:选条件③.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由③c=QUOTEb与b=c冲突.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.18.(12分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-QUOTE.(1)求A.(2)求AC边上的高.【解析】(1)在△ABC中,因为cosB=-QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE.由正弦定理得sinA=QUOTE=QUOTE.由题设知QUOTE<B<π,所以0<A<QUOTE,所以A=QUOTE.(2)在△ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE,所以AC边上的高为asinC=7×QUOTE=QUOTE.19.(12分)(2024·广州高一检测)在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a>c,△ABC的面积为2QUOTE,sin(A-B)+sinC=QUOTEsinA,b=3.(1)求sinB的值;(2)求边a,c的值.【解析】(1)由sin(A-B)+sinC=QUOTEsinA,C=π-(A+B),得sinAcosB-cosAsinB+sin(A+B)=QUOTEsinA,即2sinAcosB=QUOTEsinA,因为0<A<π,所以sinA≠0,所以cosB=QUOTE.因为0<B<π,所以sinB=QUOTE.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-QUOTEac得a2+c2-QUOTEac=9①,又因为S△ABC=QUOTEacsinB=2QUOTE,所以ac=6②,由①②解得QUOTE或QUOTE因为a>c所以a=3,c=2.20.(12分)(2024·合肥高一检测)在四边形ABCD中,∠ABC=QUOTE,AB⊥AD,AB=1,△ABC的面积为QUOTE.(1)求sin∠CAB;(2)若∠ADC=QUOTE,求CD的长.【解析】(1)△ABC的面积为QUOTEAB·BC·sin∠ABC=QUOTE×1×BC×QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即AC2=1+2-2×1×QUOTE×QUOTE=5,得AC=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sin∠CAB=QUOTE.(2)由(1)知sin∠CAB=QUOTE,所以cos∠CAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为AB⊥AD,所以∠DAC+∠CAB=90°,sin∠DAC=cos∠CAB=QUOTE.在△ACD中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得CD=4.21.(12分)(2024·上海高一检测)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲动身2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量cosA=QUOTE,cosC=QUOTE.(1)求索道AB的长;(2)乙动身多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3min,乙步行的速度应限制在什么范围内?【解析】(1)在△ABC中,因为cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,从而sinB=sinQUOTE=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE得,AB=QUOTE×sinC=QUOTE×QUOTE=10