高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和一限时练新人教A版必修5

2.3等差数列的前n项和（一）一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于()A．18 B．27C．36 D．452．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．43．已知等差数列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为()A．－9 B．－11C．－13 D．－154．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63 B．45C．36 D．275．在小于100的自然数中，全部被7除余2的数之和为()A．765 B．665C．763 D．6636．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.eq\f(2n＋1,n) B.eq\f(n＋1,n)C.eq\f(n－1,n) D.eq\f(n＋1,2n)7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m等于()A．38 B．20C．10 D．9二、填空题8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．9．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S12)＝________.10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.三、解答题11．已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求a及k.12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满意：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c.参考答案一、选择题1．答案C解析S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝eq\f(9,2)(a2＋a8)＝36.2．答案A解析由题意得10a1＋eq\f(1,2)×10×9d＝4(5a1＋eq\f(1,2)×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(1,2).3．答案D解析由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×－3,2)＝－15.4．答案B解析数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，∴S9－S6＝45.即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.5．答案B解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.6．答案B解析S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)，S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).7．答案C解析因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，得2am－aeq\o\al(2,m)＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.二、填空题8．答案10解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．9．答案eq\f(3,10)解析方法一∵eq\f(S3,S6)＝eq\f(3a1＋3d,6a1＋15d)＝eq\f(1,3)，∴a1＝2d，eq\f(S6,S12)＝eq\f(6a1＋15d,12a1＋66d)＝eq\f(12d＋15d,24d＋66d)＝eq\f(3,10).方法二由eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍旧是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，∴eq\f(S6,S12)＝eq\f(3,10).10．答案15解析设等差数列的公差为d，则S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝2.))故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.三、解答题11．解设等差数列{an}的公差为d，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3a＝2×4，,d＝4－a，,ka＋\f(kk－1,2)d＝2550，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,d＝2，,k＝50，))(注：k＝－51舍)∴a＝2，k＝50.12．解方法一设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100，①,100a1＋\f(100×99,2)d＝10.②))①×10－②，整理得d＝－eq\f(11,50)，代入①，得a1＝eq\f(1099,100)，∴S110＝110a1＋eq\f(110×109,2)d＝110×eq\f(1099,100)＋eq\f(110×109,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝110eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1099－109×11,100)))＝－110.故此数列的前110项和为－110.方法二设Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(102a＋10b＝100，,1002a＋100b＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(11,100)，,b＝\f(111,10).))∴Sn＝－eq\f(11,100)n2＋eq\f(111,10)n.∴S110＝－eq\f(11,100)×1102＋eq\f(111,10)×110＝－110.13．解(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4，))∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n×1＋eq\f(nn－1,2)×4＝2n2－n