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PAGE第一章1.4基础练习1.命题“全部能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.全部不能被2整除的整数都是偶数B.全部能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【解析】原命题是全称命题,其否定是:存在一个能被2整除的数不是偶数.2.给出下列几个命题:①至少有一个x0,使xeq\o\al(2,0)+2x0+1=0成立;②对随意的x,都有x2+2x+1=0成立;③对随意的x,都有x2+2x+1=0不成立;④存在x0,使xeq\o\al(2,0)+2x0+1=0成立.其中是全称命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.0【答案】B【解析】命题②③都含有全称量词“随意的”,故②③是全称命题.3.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使eq\f(1,x)>2【答案】B【解析】选项A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;选项B中x=0时,x2=0,所以选项B既是特称命题又是真命题;选项C中因为eq\r(3)+(-eq\r(3))=0,所以选项C是假命题;D中对于任一个负数x,都有eq\f(1,x)<0,所以选项D是假命题.4.(2024年湖南长沙模拟)已知命题“x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞)B.(0,4]C.(-∞,4]D.[0,4)【答案】C【解析】当原命题为真命题时,a>0且Δ<0,所以a>4,故当原命题为假命题时,a≤4.5.命题“∃x0∈R,xeq\o\al(2,0)-x0+3=0”的否定是__________.【答案】∀x∈R,x2-x+3≠0【解析】∵命题“∃x∈R,x2-x+3=0”是特称命题,∴其否定命题为“∀x∈R,x2-x+3≠0”.6.给出下列命题:①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.其中是全称命题的是________;是特称命题的是________.(填序号)【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“全部正数的平方根不等于0”是全称命题;④是特称命题.7.推断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)∀x∈N,x3>x2;(2)全部可以被5整除的整数,末位数字都是0;(3)∃x∈R,x2-x+1≤0;(4)存在一个四边形,它的对角线相互垂直且平分.解:(1)当x=1时,13=12,∴x=1时,x3>x2不成立,即此命题是假命题.命题的否定:∃x0∈N,xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0).(2)15可以被5整除,但15的末位数字不是0,∴此命题是假命题.命题的否定:有些可以被5整除的整数,末位数字不是0.(3)∵x2-x+1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))2+eq\f(3,4)>0恒成立,∴此命题是假命题.命题的否定:∀x∈R,x2-x+1>0.(4)菱形的对角线相互垂直且平分,∴此命题是真命题.命题的否定:任何一个四边形,它的对角线不相互垂直或不相互平分.8.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.解:若命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则a≤x2在区间[1,2]恒成立,所以a≤(x2)min=1.若命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”为真命题,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≥1或a≤-2.命题“p且q”为真命题,即命题p,q都为真命题,所以取两个范围的交集,实数a的取值范围为a≤-2或a=1.实力提升9.(2024年四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则f(a+b)的值为()A.-1 B.0C.1 D.2【答案】B【解析】若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=f(0)=0.10.(2024年广西柳州期中)下列关于函数f(x)=x2与函数g(x)=2x的描述,正确的是()A.∃a0∈R,当x>a0时,总有f(x)<g(x)B.∀x∈R,f(x)<g(x)C.∀x<0,f(x)≠g(x)D.方程f(x)=g(x)在(0,+∞)内有且只有一个实数解【答案】A【解析】在同一坐标系内作出两函数的大致图象,两交点为(2,4),(4,16).当x>4时,由图象知f(x)<g(x),选项A正确,选项B,C,D均错误.11.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满意条件:①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________.【答案】(-4,-2)【解析】由题意知m≠0,∴f(x)=m(x-2m)(x+m+3)为二次函数.若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则f(x)必需开口向下,即m<0.f(x)=0的两根x1=2m,x2=-m-3,则x1-x2=3m+3.(1)当x1>x2,即m>-1时,必需大根x1=2m<1,即m<eq\f(1,2);(2)当x1<x2,即m<-1时,大根x2=-m-3<1,即m>-4;(3)当x1=x2,即m=-1时,x1=x2=-2<1也满意条件.∴满意条件①的m的取值范围为-4<m<0.若∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,则满意方程f(x)=0的小根小于-4.(1)当m>-1时,小根x2=-m-3<-4且m<0,无解;(2)当m<-1时,小根x1=2m<-4且m<0,解得m<-2;(3)当m=-1时,f(x)=-(x+2)2≤0恒成立,∴不满意②.∴满意①②的m的取值范围是-4<m<-2.12.已知命题p:∃x∈R,使得x2-2ax+2a2-5a+4=0;命题q:∀x∈[0,1],都有(a2-4a+3)x-3<0.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.解:若p为真命题,则Δ=4a2-4(2a2-5a+4)≥0,解得1≤a≤4.对于q,令f(x)=(a2-4a+3)x-3,若q为真命题,则f(0)<0且f(1)<0,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3<0,,a2-4a<0,))解得0<a<4.由“p或q”为真命题
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