2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE第一章1.4基础练习1．命题“全部能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．全部不能被2整除的整数都是偶数B．全部能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【解析】原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．2．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0成立；②对随意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对随意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0成立．其中是全称命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．0【答案】B【解析】命题②③都含有全称量词“随意的”，故②③是全称命题．3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2【答案】B【解析】选项A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；选项B中x＝0时，x2＝0，所以选项B既是特称命题又是真命题；选项C中因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以选项C是假命题；D中对于任一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以选项D是假命题．4.(2024年湖南长沙模拟)已知命题“x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(4，＋∞)B.(0,4]C.(－∞，4]D.[0,4)【答案】C【解析】当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.5．命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋3＝0”的否定是__________．【答案】∀x∈R，x2－x＋3≠0【解析】∵命题“∃x∈R，x2－x＋3＝0”是特称命题，∴其否定命题为“∀x∈R，x2－x＋3≠0”．6．给出下列命题：①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．其中是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“全部正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．7．推断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)∀x∈N，x3>x2；(2)全部可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3)∃x∈R，x2－x＋1≤0；(4)存在一个四边形，它的对角线相互垂直且平分．解：(1)当x＝1时，13＝12，∴x＝1时，x3>x2不成立，即此命题是假命题．命题的否定：∃x0∈N，xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0).(2)15可以被5整除，但15的末位数字不是0，∴此命题是假命题．命题的否定：有些可以被5整除的整数，末位数字不是0.(3)∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴此命题是假命题．命题的否定：∀x∈R，x2－x＋1>0.(4)菱形的对角线相互垂直且平分，∴此命题是真命题．命题的否定：任何一个四边形，它的对角线不相互垂直或不相互平分．8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．解：若命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真命题，则a≤x2在区间[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.若命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.命题“p且q”为真命题，即命题p，q都为真命题，所以取两个范围的交集，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.实力提升9．(2024年四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)的值为()A．－1 B．0C．1 D．2【答案】B【解析】若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.10．(2024年广西柳州期中)下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是()A．∃a0∈R，当x>a0时，总有f(x)<g(x)B．∀x∈R，f(x)<g(x)C．∀x<0，f(x)≠g(x)D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解【答案】A【解析】在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，选项A正确，选项B，C，D均错误．11．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满意条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________．【答案】(－4，－2)【解析】由题意知m≠0，∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)为二次函数．若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则f(x)必需开口向下，即m<0.f(x)＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，则x1－x2＝3m＋3.(1)当x1>x2，即m>－1时，必需大根x1＝2m<1，即m<eq\f(1,2)；(2)当x1<x2，即m<－1时，大根x2＝－m－3<1，即m>－4；(3)当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满意条件．∴满意条件①的m的取值范围为－4<m<0.若∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则满意方程f(x)＝0的小根小于－4.(1)当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解；(2)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2；(3)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满意②.∴满意①②的m的取值范围是－4<m<－2.12．已知命题p：∃x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：∀x∈[0,1]，都有(a2－4a＋3)x－3<0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．解：若p为真命题，则Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.对于q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若q为真命题，则f(0)＜0且f(1)＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＜0，,a2－4a＜0，))解得0＜a＜4.由“p或q”为真命题