2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.2.2.2等差数列习题课学案含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE第2课时等差数列习题课关键实力·素养形成类型一由递推公式写数列的项【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn满意a1=QUOTE,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式an=________.

2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.(1)求{an}的通项公式;(2)推断{an}是否为等差数列.【思维·引】1.已知数列前n项和Sn和数列的第n项an的关系式,用等差数列定义证出数列QUOTE是等差数列.2.利用n=1时,a1=S1,当n≥2,n∈N+时an=Sn-Sn-1求an,用等差数列的定义证明.【解析】1.因为an+2Sn·Sn-1=0,所以an=-2Sn·Sn-1.当n=1时,a1=QUOTE.当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.因为a1=QUOTE,所以SnSn-1≠0,①式的两边同除以SnSn-1得:QUOTE-QUOTE=-2即:QUOTE-QUOTE=2,所以数列QUOTE是首项为2,公差为2的等差数列,所以QUOTE=2+2(n-1)=2n,即:Sn=QUOTE,则an=-2SnSn-1=-QUOTE(n≥2).因为a1=QUOTE不满意an=-QUOTE(n≥2),所以数列的通项公式为an=QUOTE答案:QUOTE2.(1)因为Sn=3n2+2n,所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.又a1=S1=5,满意an=6n-1,所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,所以{an}是等差数列.【素养·探】在关于已知数列的前n项和Sn求an的问题中,常常利用核心素养中的数学运算,依据Sn与an的关系,由Sn求an.将本例2的条件“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n-1”,如何解答【解析】(1)因为Sn=3n2+2n-1,所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.又a1=S1=4,不满意an=6n-1,所以数列{an}的通项公式是an=QUOTE(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,但a2-a1=11-4=7≠6,所以{an}不满意等差数列的定义,{an}不是等差数列.【类题·通】1.由Sn求通项公式an的步骤第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;其次步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;第三步:验证a1与an的关系:(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.(2)若a1不适合an,则an=QUOTE2.Sn与an的关系式的应用Snan(1)“和”变“项”.首先依据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最终求通项公式.(2)“项”变“和”.首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.提示:关于数列的式子中,假如含有如an-1,Sn-1,必需注明n≥2.【习练·破】设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于随意n∈N+,an与1的等差中项等于QUOTE,求数列{an}的通项公式.【解析】由题意知,QUOTE=QUOTE,得Sn=QUOTE,所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=QUOTE[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,所以an+1-an=2,所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.【加练·固】数列{an}的前n项和Sn=-QUOTEn2+n-1,求数列{an}的通项公式.【解析】n=1时,a1=S1=-QUOTE+1-1=-QUOTE,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-QUOTEn2+n-1-QUOTE=-3n+QUOTE,因为a1=-QUOTE不适合an=-3n+QUOTE,所以an=QUOTE类型二实际应用题【典例】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学学问起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,很多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1= ()A.23 B.32 C.35 【思维·引】儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.【解析】选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+QUOTE×(-3)=207,解得a1=35.【内化·悟】解答等差数列实际应用问题的关键是什么?提示:关键是将实际问题转化为等差数列问题,从而确定出等差数列的首项、公【类题·通】应用等差数列解决实际问题的一般思路【习练·破】植树节某班20名同学在一段直线马路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10m,起先时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑动身前来领取树苗来回所走的路程总和最小,此最小值为________【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑动身前来领取树苗来回所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故全部同学来回的总路程为S=9×20+QUOTE×20+10×20+QUOTE×20=2000.答案:2000类型三数列求和问题角度1裂项求和与并项求和问题【典例】1.已知函数f(n)=QUOTE且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 ()A.0 B.100C.-100 D.102002.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=QUOTE,求数列{bn}的前n项和Sn.【思维·引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.2.(1)依据题意列方程组求首项和公差,写出通项公式;(2)对bn进行适当变形,选择裂项相消法进行数列求和.【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),所以由已知条件知an=QUOTE即an=QUOTE所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.2.(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为QUOTE所以QUOTE解得a1=1,d=QUOTE.所以{an}的通项公式为an=QUOTE.(2)bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以Sn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE.【素养·探】在裂项求和与并项求和有关的问题中,常常利用核心素养中的数学运算,通过对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和.将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.角度2求数列{|an|}的前n项的和【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.【思维·引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分状况求和.【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得QUOTE解得QUOTE则an=n+2.(2)bn=-2an+25=21-2n,设{bn}的前n项和为Sn=QUOTEn(19+21-2n)=20n-n2,当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,综上可得数列{|bn|}的前n项和为Tn=QUOTE【类题·通】1.裂项相消求和(1)适用数列:形如QUOTE(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.(2)裂项形式:QUOTE=QUOTE.(3)规律发觉:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分别常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组视察消去项、保留项.(4)特别裂项:①QUOTE=QUOTE=QUOTE.②QUOTE=QUOTE-QUOTE.③QUOTE=QUOTE.④QUOTE=1+QUOTE.2.关于并项法求数列的和(1)适用形式:①适用于形如an=(-1)nf(n)的摇摆数列.②项成周期改变的数列.(2)求和方法:①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.②针对一些特别的数列,将某些项合并在一起就具有某种特别的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以干脆求解.(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项起先其余全部项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.【习练·破】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,满意a1+a2=10,S5=40.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意知,a1+a2=2a1+d=10,S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,所以QUOTE所以an=4+(n-1)·2=2n+2.(2)令cn=13-an=11-2n,bn=|cn|=|11-2n|=QUOTE设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.【加练·固】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.(1)求an及Sn.(2)若数列{bn}满意bn(Sn-n)=2(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得QUOTE即QUOTE解得QUOTE则an=3+2(n-1)=2n+1,所以Sn=3n+QUOTE=n2+2n.(2)由题意可得bn=QUOTE=QUOTE=2QUOTE,所以Tn=b1+b2+…+bn=2QUOTEQUOTE=2QUOTE<2.2.等差数列{an}的前n项和Sn=-QUOTEn2+QUOTEn,求数列{|an|}的前n项和Tn.【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-QUOTEn2+QUOTEn--QUOTE(n-1)2+QUOTE(n-1)=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-QUOTEn2+QUOTEn,当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=QUOTEn2-QUOTEn+3502,所以Tn=QUOTE课堂检测·素养达标1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2017-2019= ()A.-2020 B.-1010 C.-505 D.1【解析】选B.1-3+5-7+9-11+…+2017-2019=(1+5+9+…+2017)-(3+7+11+…+2019)=QUOTE(1+2017)-QUOTE=-1010.2.QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.原式=QUOTE+QUOTE+…+