2024-2025学年广东省汕尾市四校高三（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省汕尾市四校高三（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|0<x≤2}，B={x|−1<x<3}，则A∩B=(

)A.[−1,3] B.(0,2] C.(0,1] D.(1,2]2.已知命题p：∀x∈R，ex>0；命题q：a>b是ac2A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.若函数y=3cos(2ωx−π3)(ω>0)A.1 B.2 C.3 D.44.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.旋转所形成的圆柱的侧面积最大是(

)A.81cm2 B.162cm2 C.5.已知函数ℎ(x)=x2−kx−8，在[5,10]上是单调函数，则k的取值范围是A.(−∞,10] B.[20,+∞)

C.(−∞,10]∪[20,+∞) D.⌀6.已知α、β都是锐角，sinα=45,cosA.5365 B.3365 C.16657.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(    )(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)A.3 B.4 C.5 D.68.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+ab=c2，若角C的内角平分线A.8 B.4 C.16 D.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图所示是y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下列结论中正确的是(

)A.f(x)在区间(−1,2)，(4,+∞)上单调递增

B.x=−1是f(x)的极小值点

C.f(x)在区间(2,4)上单调递减

D.x=2是f(x)的极小值点10.已知函数y=f(x+1)为奇函数，且f(1−x)=f(x+3)，当x∈[0,1]时，f(x)=2−2x，则(

)A.f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.f(x)的图象关于直线x=2对称

C.f(x)的最小正周期为2 D.f(1)+f(2)+…+f(30)=−111.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)A.ω=2

B.f(x)=2sin(2x+π3)

C.g(x)的一个对称中心是(π12,0)

D.若关于x的方程g(x)−m=0在(−π12,π6]上有两个不相等的实数根，则实数12.已知函数f(x)=4x+log2x13.已知tanα=2，则sin2α=______．14.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体(图1)，若中间层旋转角x(x为锐角，如图2所示)，记表面积增加量为S=f(x)，则f(π6)=______，S四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA−ccosB=(c−a)cosB．

(1)求角B的值；

(2)若△ABC的面积为33,b=16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=3．

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求二面角A−PC−B的大小．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a的最大值为1．

(1)求a的值；

(2)求f(x)图象的对称中心和对称轴；

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x．

(1)当a=2时，求f(x)在x=0处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)19.(本小题17分)

已知函数y=f(x)的定义域为D，若对任意的实数x1，x2∈D，都有12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立(等号当且仅当x1=x2时成立)，则称函数y=f(x)是D上的凸函数，并且凸函数具有以下性质：

对任意的实数xi∈D(i=1,2,3,…,n)，都有12[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f(x1+x2+…+xnn)(n∈N,n≥1)成立(等号当且仅当x参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.C

8.A

9.ABC

10.ABD

11.ACD

12.1

13.214.83315.解：(1)因为bcosA−ccosB=(c−a)cosB，

由正弦定理得sinBcosA−sinCcosB=(sinC−sinA)cosB，

即sin(A+B)=2sinCcosB，

又A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC，

又0<C<π，所以sinC=2sinCcosB，

故1=2cosB，解得cosB=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由(1)知B=π3，

由余弦定理得b2=a2+c2−ac，①

又S=12acsinB=34ac，

故34ac=33，则ac=12，②

又b=16.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，

所以△PAB为直角三角形，

又因为PB=PA2+AB2=2，BC=1,PC=3，

所以PB2+BC2=PC2，则△PBC为直角三角形，故BC⊥PB，

又因为BC⊥PA，PA⋂PB=P，

所以BC⊥平面PAB．

(2)由(1)BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，

以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，

所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,−1)，

设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅AP=0m⋅AC=0，即z117.解：(1)函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x−π6)+cosx+a

=sinxcosπ6+cosxsinπ6+sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx+a

=3sinx+cosx+a

=2sin(x+π6)+a，

函数f(x)的最大值为1，

所以2+a=1，解得a=−1；

(2)令x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=−π6+kπ,k∈Z，

故函数的对称中心为(−π6+kπ,−1)，

令x+π6=kπ+π18.解：(1)当a=2时，f(x)=2e2x−x，∴f′(x)=4e2x−1，

∴f′(0)=3，又f(0)=2，

∴f(x)在x=0处的切线方程为：y−2=3(x−0)，

即3x−y+2=0；

(2)f(x)的定义域为R，f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1=(aex−1)(2ex+1)，

当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在R上单调递减；

当a>0时，则由f′(x)=0得x=−lna，

当x∈(−∞,−lna)时，f′(x)<0；当x∈(−lna,+∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，(−lna,+∞)上单调递增；

综上所述：

当a≤0时，f(x)在R上单调递减；

当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，(−lna,+∞)上单调递增；

(3)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点，不合题意．

若a>0，由(1)知，当x=−lna时，f(x)取得最小值，且最小值为f(−lna)=1−1a+lna，

要使f(x)有两个零点，则f(−lna)<0，

即求1−1a+lna<0的解集，

令g(a)=1−1a+lna，a>0，

则g′(x)=1a219.解：(1)函数y=−x2、y=cosx(x∈(0,π)都是为凸函数，证明如下：

证明：对于函数f(x)=−x2，x∈R，对任意的