2024-2025学年江苏省无锡一中高二（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡一中高二（上）质检数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A(2,3)，B(3,−1)，若直线l过点P(0,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(

)A.k≤−23或k≥1 B.k≤−23或0≤k≤1

C.−22.已知空间向量a=(2,−2,1)，b=(3,0,4)，则向量b在向量a上的投影向量是(

)A.109b B.25b C.3.已知直线l1：ax+y−2=0，l2：2x+(a+1)y+2=0，若l1//lA.−1或2 B.1 C.1或−2 D.−24.已知直线l：ax+by+1=0过点(2,3)，则(

)A.点(a,b)一定在直线x+y+1=0上 B.点(a,b)一定在直线x2+y3=1上

C.点(a,b)一定在直线2x+3y+1=0上 D.5.已知两平行直线分别过点A(1,7)和B(4,3)，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是(

)A.(0,5] B.(0,5) C.[0,5] D.(0,+∞)6.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=5，AD=3，AA′=7，∠BAD=60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，则AC′的长为(

)A.98+562

B.98−5627.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，MNA.[−12,0] B.[0,12]8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，点P0(x0,y0,z0)，点P(x,y,z)．

(1)若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：x−x0a=y−y0b=z−z0c；

(2)若平面α经过点P0，且以A.39 B.75 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于空间向量的命题中，错误的是(

)A.若向量n是平面α的法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的法向量

B.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成角为50°

C.已知a=e1−2e2+e3，b=−e1+3e2+2e3，10.下列结论错误的是(

)A.过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线，其方程均可写为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

B.已知点A(3,1)，B(2,3)，则过点A11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼−闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(A.若点P(2,4)，Q(−2,1)，则d(P,Q)=7

B.若点M(−1,0)，N(1,0)，则在x轴上存在点P，使得d(P,M)+d(P,N)=1

C.若点M在y=x2上，点N在直线3x−y+12=0上，则d(M,N)的值可以是4

D.若点M(2,1)，点P在直线x−3y+7=0上，则d(P,M)的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.以v=(2,−6)为方向向量，且过点(−3,2)的直线方程为______．13.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中点，AF=13AD,AG=2GA114.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决.已知0<x<2，0<y<1，则x2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间中三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,1,5)．

(1)已知向量AB−kAC与AC互相垂直，求k的值；

(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求直线PB与平面PCD所成角的余弦值；

(2)求点B到平面PCD的距离．17.(本小题15分)

已知直线l1：(m+2)x−my−8=0与直线l2：mx+y−4=0，m∈R．

(1)若l1⊥l2，求m的值；

(2)若点P(1,m)在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．

(3)△ABC中，A为直线l1过的定点，AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y−14=0，AC18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB．

①求证：AD⊥平面PAB；

②求向量CP在向量DA上的投影向量的模．

(2)是否存在点D，使得AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为63；若存在，求出19.(本小题17分)

如图，∠AOx=∠BOx，设射线OA所在直线的斜率为k(k>0)，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．

(1)若k=1，P(32,12)，求|OM|的值；

(2)若P(2,1)，求△OMP面积的最大值，并求出相应的k值；

(3)已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON

参考答案1.D

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.ABC

10.ABD

11.ACD

12.3x+y+7=0

13.21314.215.解：(1)空间中三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,1,5)，

∴AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−1,2)，

 AB−kAC=(−2−k,k−1,3−2k)，

∵向量 AB−kAC与AC互相垂直，

∴( AB−kAC)⋅AC=−2−k−k+1+6−4k=0，

解得k=56；

(2)cos<AB,16.解：(1)取AD的中点O，连接OP，OC，

因为PA=PD，所以AD⊥OP，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，

所以OP⊥平面ABCD，

又AC=CD=5，所以OC⊥AD，

故以O为原点，以OC、OA、OP的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0,−1,0)，

所以PC=(2,0,−1)，CD=(−2,−1,0)，PB=(1,1,−1)，

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PC=0n⋅CD=0，即2x−z=0−2x−y=0，

令x=1，得n=(1,−2,2)，

设直线PB与平面PCD所成角为θ，θ∈[0,π2]，

则sinθ=|cos<PB，n>|=|PB⋅n||PB|⋅|n|=|1−2−2|17.解：(1)若l1⊥l2，则(m+2)m−m=0，

解得m=0或m=−1．

(2)若点P(1,m)在直线l2上，则m×1+m−4=0，即m=2，

所以P(1,2)，

当直线l经过原点时，直线l的方程为y=2x，即2x−y=0；

当直线l不经过原点时，设直线l的方程为xa−ya=1，

代入点P(1,2)，有1a−2a=1，解得a=−1，

所以直线l的方程为x−1−y−1=1，即x−y+1=0，

综上，直线l的方程为2x−y=0或x−y+1=0．

(3)将直线l1：(m+2)x−my−8=0整理得m(x−y)+2x−8=0，

令x−y=02x−8=0，得x=4y=4，所以直线l1恒过定点(4,4)，即A(4,4)，

因为AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y−14=0，

所以直线AB的斜率为2，

所以直线AB的方程为y−4=2(x−4)，即y=2x−4，

又中线BE所在直线的方程为2x+y−14=0，

联立y=2x−42x+y−14=0，解得x=92y=−5，即B(92,−5)，

设C(m,n)，

代入高线CD所在直线的方程x+2y−14=0，有m+2n−14=0，

由A(4,4)，知AC的中点18.解：(1)①证明：由PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，

可得PA⊥AD，又AD⊥PB，

PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB；

②由AD⊥平面PAB，可得AD⊥AB，

又AC=2，BC=1，AB=3，则有AB2+BC2=AC2，

故BC⊥AB，且∠BAC=30°，

则CP在DA上的投影向量的模为：

|CP⋅DA||DA|=|(AP−AC)⋅DA||DA|=|AP⋅DA−AC⋅DA||DA|

=|AC|cos∠DAC=2×cos60°=1；

(2)如图，以A为坐标原点，AP方向为z轴正方向，AC方向为y轴正方向，

垂直于AC方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，

由(1)知，∠BAC=30°，又AB=3，故B(32,32,0)，

由题意可得A(0,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，

设D(a,b,0)，则AD=(a,b,0)，CD=(a,b−2,0)，CP=(0,−2,2)，

由AD⊥DC，可得AD⋅CD=0，即a2+b2−2b=0，①

设平面CPD的一个法向量为m=(x,y,z)，

则有m⋅CD=019.解：(1)因为P(32,12)，所以|OP|=102，

当k=1时，OA的方程为y=x，即x−y=0，

所以点P到直线OA的距离为|PM|=|32−12|12+12=2