2024-2025学年安徽省县中联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省县中联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y+2=0的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知圆C1：x2+(y−1)2=1与圆CA.内切 B.相交 C.外切 D.外离3.已知向量a=(1,m,−1),b=(1,−1,1)，若(a+A.4 B.3 C.2 D.14.两平行直线mx−3y−2=0与4x−6y−7=0之间的距离为(

)A.1326 B.1313 C.5.如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且AP,AB=AP,AC=120°，|A.42 B.35 C.66.已知曲线C：x2+y2=12(x>0)，过C上任意一点A向y轴引垂线，垂足为B，则线段AB的中点A.x23+y212=1 B.7.过P(−3,2)作与圆C：x2+y2+4y+m=0相切的两条直线PA，PB，切点分别为A，B，且cosA.3 B.2 C.1 D.08.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2，AB⊥平面ACD，∠CAD=60°，点E，F分别为棱BC，AD上的点，且BE=3EC,AD=3FD，则直线AEA.37035 B.27035二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆C：9x2+5y2=45的两个焦点分别为F1，F2A.长轴长为6 B.两个焦点的坐标分别为(−2,0)，(2,0)

C.|PF1|的最大值是5 D.10.设m∈R，直线l的方程为(m−1)x+(m+1)y+2=0，则(

)A.直线l过定点(1,1)

B.若直线l在x轴上的截距为−2，则l在y轴上的截距为−23

C.直线l与圆C：(x−1)2+y2=2相交11.在坐标系Oθ−xyz(0<θ<π)中，x，y，z轴两两之间的夹角均为θ，向量i,j,k分别是与x，y，z轴的正方向同向的单位向量.空间向量aA.若aθ=(x1,y1,z1),bθ=(x2,y2,z2)，则aθ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面α的法向量为p=(1,2,−1)，平面β的法向量为r=(m,1,−m)，若α//β，则m=______．13.已知经过点(−2,−1)的直线l的倾斜角是直线x−2y+4=0的倾斜角的3倍，则直线l的方程为______．14.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且倾斜角为60°四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知三点O(0,0)，A(2,0)，B(−1,−1)，记△AOB的外接圆为⊙C．

(1)求⊙C的标准方程；

(2)若直线l：x−y−1=0与⊙C交于M，N两点，求△CMN的面积．16.(本小题15分)

已知直线l过点P(2,4)，且与x轴，y轴分别交于点A(a,0)，B(0,b)．

(1)当b=2a时，求l的方程；

(2)若a>0，b>0，求当a+b取最小值时，l的方程．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA=2，PC=5，点Q为棱PC上一点．

(1)证明：PA⊥CD；

(2)当点Q为棱PC的中点时，求直线PB与平面BDQ所成角的正弦值；

(3)当二面角P−BD−Q18.(本小题15分)

已知椭圆C经过点A(−2,0)与点B(2,22)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C交于异于A的M，N两点，且∠MAN=π2．

①证明：直线19.(本小题17分)

在空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点A(x0,y0,z0)，且方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线的点方向式方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c；过点A(x0,y0,z0)，且法向量为m=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面的点法向式方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，将其整理为一般式方程为ax+by+cz−d=0，其中d=ax0+by0+cz0．

(1)求经过参考答案1.D

2.D

3.B

4.C

5.D

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.1213.11x−2y+20=0

14.2315.解：(1)设⊙C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意得F=0,4+2D+F=0,1+1−D−E+F=0,

解得D=−2，E=4，F=0，所以⊙C的方程为x2+y2−2x+4y=0，化成标准方程得(x−1)2+(y+2)2=5．

(2)由(1)可知圆心为C(1,−2)，半径r=516.解：(1)直线l过点P(2,4)，且与x轴，y轴分别交于点A(a,0)，B(0,b)．

①若a=0，则b=0，即l过点(0,0)，又l过点P(2,4)，则l的方程为x−02−0=y−04−0，即2x−y=0，

②若a≠0，则b≠0，设l的方程为xa+yb=1，所以xa+y2a=1，

将P(2,4)代入方程，得2a+42a=1，解得a=4，所以l的方程为x4+y8=1，即2x+y−8=0．

所以直线l的方程为2x−y=0或2x+y−8=0．

(2)设直线l的方程为xa+yb17.解：(1)证明：因为PD=1,CD=2,PC=5，

所以PD2+CD2=PC2，

所以CD⊥PD，

又CD⊥AD，且AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

又PA⊂平面PAD，

所以PA⊥CD．

(2)因为PA=2,AD=PD=1，所以AD2+PD2=PA2，

则PD⊥AD．

由(1)可知PD，AD，DC两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，

当点Q为棱PC的中点时，Q(0,1,12),PB=(1,1,−1),DB=(1,1,0),DQ=(0,1,12)，

设平面BDQ的一个法向量m=(x0,y0,z0)，

则DB⊥mDQ⊥m，则DB⋅m=0DQ⋅m=0，即x0+y0=0y0+12z0=0，

令y0=−1，解得x0=1，z0=2，

故m=(1,−1,2)，

设直线PB与平面BDQ所成角为θ，

则sinθ=|cos〈m,PB〉|=|m⋅PB||m||PB|=26×3=2318.解：(1)设椭圆C的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)，

由题意可得4A=1,2A+12B=1,

解得A=14，B=1，

故椭圆C的方程为x24+y2=1．

(2)①证明：易知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=ty+m，则m≠−2，

联立C与直线l的方程，得x24+y2=1x=ty+m，消去x并整理，

得(t2+4)y2+2mty+m2−4=0，则Δ=4m2t2−4(t2+4)(m2−4)>0，

所以t2−m2+4>0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1+y2=−2mtt2+4，y1y2=m2−4t2+4．

因为∠MAN=π2，所以AM⋅AN=(x1+2)(19.解：(1)∵A(−1,2,4)，B(2,0,1)，

∴直线AB的方向向量为m=AB=(3,−2,−3)，

∴直线AB的点方向式方程为x+13=y−2−2=z−4−3；

(2)证明：由平面α1为：2x−3y+z−1=0，

∴平面α1的法向量为m1=(2,−3,1)，

由平面β1为：x+y−2z+4=0，

∴平面β1的法向量为m2=(1,1,−2)，

设交线l的方向向量为n=(x0,y0,z0)，