2024-2025学年天津市河西区新华中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市河西区新华中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l的方向向量为(1,−1)，则该直线的倾斜角为(

)A.π4 B.π3 C.3π42.已知a=(1,2,−y)，b=(x,1,2)，且(a+2A.x=13,y=1 B.x=12,y=−4 C.3.已知空间向量a=(2,−1,2)，b=(1,−2,1)，则向量a在向量b上的投影向量是(

)A.(43,−23,43)4.若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是A.(−52,12) B.(−5.设a∈R，则“直线ax+y−1=0与直线x+ay+1=0平行”是“a=1”的(

)A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知点A(2,2)，B(−1,3)，若直线kx−y−1=0与线段AB有交点，则实数k的取值范围是(

)A.(−∞,−4]∪[32,+∞)B.[−4,32]7.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1A.292B.29

C.8.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,1)，B(0,1,0)，C(1,2,3)，则点C到直线AB的距离为(

)A.32 B.3 C.29.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=λAB，点E，F，G分别是BC，CD，A.当λ>1时，存在M，使得CM⊥平面EFG

B.存在M，使得AM//平面EFG

C.存在M，使得平面MBC1//平面EFG

D.存在λ，使得平面MB1C⊥平面EFG

二、填空题：本题共10.已知两条平行直线l1：x−2y+1=0，l2：mx−y+n=0间的距离为5，则|2m−2n|=11.已知PA=(2,1,−3)，PB=(−1,2,3)，PC=(7,6,λ)，若P，A，B，C四点共面，则λ=

12.直线(2t−3)x+2y+t=0不经过第二象限，则t的取值范围是______．13.向量a=(1,2,3)，b=(−2,−4,−6)，|c|=14，若(a14.在四棱锥P−ABCD中，设向量AB=(4,−2,3)，AD=(−4,1,0)，AP=(−6,2,−8)，则顶点P到底面ABCD15.已知直线l1：(a−4)x−3y+1=0和l2：3x−(b+1)y+5=0垂直且a>0，b>0，则2a三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

如图.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形.AB长为2.AD长为1，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于45°，M是PC的中点，设AB=a，AD=b，AP=c．

(1)试用a，b，c表示向量BM；

(2)17.(本小题13分)

△ABC中A(3,−1)，AB边上的中线CM所在直线方程为6x+10y−59=0，∠B的平分线方程BT为x−4y+10=0．

(1)求顶点B的坐标；

(2)求直线BC的方程．18.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，CD=AD=12AB，∠PAD=45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．

(1)求证：DE//平面PBC；

(2)求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值；

(3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是33

参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.A

10.5

11.−9

12.[0,313.π314.2

15.3216.解：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．AB长为2.AD长为1，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于45°，

设AB=a，AD=b，AP=c．

(1)因为M是PC的中点，所以BM=12(BC+BP)=12(AD+AP−AB)=−12a+12b+12c．

(2)根据题意可知|b|=1，|c|=217.解：(1)设B(x0,y0)，则AB的中点M(x0+32,y0−12)在直线CM上．

∴6×x0+32+10×y0−12−59=0，

∴3x0+5y0+4−59=0，

即3x0+5y0−55=0，①

又点B在直线BT上，则x0−4y0+10=0，②

由①②可得x0=10，y0=5，即B点的坐标为(10,5).(518.证明：(1)由题意，设DA=1，因为PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别是x，y，z轴建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示，

则CD=AD=12AB=1，而∠PAD=45°，易知∠PDA=90°，于是PD=DA=1，

又E是PA的中点，故D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E(12,0,12)，

所以BC=(−1,−1,0),CP=(0,−1,1)，

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BC=0m⋅CP=0，即−x−y=0−y+z=0，

令y=1，则x=−1，z=1，∴m=(−1,1,1)，

又DE=(12,0,12)，∴m⋅DE=−1×12+0+1×12=0，∴m⊥DE，DE不在平面PBC内，

∴DE/​/平面PBC．

解：(2)