2024-2025学年广西南宁市沛鸿民族中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁市沛鸿民族中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=i(1−7i)，则z−=(

)A.−7+i B.−7−i C.7+i D.7−i2.已知命题p：∃x>0，x3=x2，q：∀x∈R，xA.p和q都是真命题B.p和￢q都是真命题C.￢p和q都是真命题D.￢p和￢q都是真命题3.已知向量a，b满足|a−2b|=|2a−bA.14 B.−14 C.14.某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[50,100]内，按分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论错误的是(

)A.成绩在[80,90)上的人数最多 B.成绩不低于70分的学生所占比例为70%

C.50名学生成绩的平均分小于中位数 D.50名学生成绩的极差为505.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b6.函数y=2x32x+A.B.C.D.7.正四面体ABCD各棱长均为2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则GE⋅GF=A.22

B.2

C.18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段ACA.(1,2)

B.[15,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(

)A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，则l1//l2

B.直线l的方向向量a=(1,−1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,−1)，则l⊥α

C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)，则α⊥β10.已知函数f(x)=|sinx|，g(x)=sin(2x+π2A.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 B.f(x)与g(x)的值域相同

C.f(x)与g(x)有相同的零点 D.f(x)与g(x)的最小正周期相同11.如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A.直线FC1与底面ABCD所成的角为30°

B.平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为23

C.直线FC1与直线AE的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数据x1，x2，…，x20的平均数为5，则数据3+2x1，3+2x213.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为2π3，则此弧田的面积为______．14.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间向量a=(2,−3,1)，b=(−3,0,1)，c=(x,6,−2)．

(1)若a//c，求|c|；

(2)16.(本小题15分)

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsin2A=b2+c2−a2．

(1)求A；

17.(本小题15分)

某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量(单位：件)如表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测．车间ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品来自相同车间的概率．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=CD=4，AD=2．

(1)求AP与平面CMB所成角的正弦值；

(2)求M点到面PBC的距离．19.(本小题17分)

如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，DE=2，平面EDCF⊥平面ABCD．

(1)求证：DF//平面ABE；

(2)求二面角B−EF−D的正弦值；

(3)在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP

参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.B

7.D

8.D

9.AC

10.AD

11.BCD

12.13

13.12π−914.215.解：(1)根据题意，空间向量a=(2,−3,1)，b=(−3,0,1)，c=(x,6,−2)，

若a/​/c，设a=λc，则有(2,−3,1)=λ(x,6,−2)，

即2=λx−3=6λ1=−2λ，解可得x=−4，

则c=(−4,6,−2)，故|c|=16+36+4=56=214；

(2)根据题意，空间向量a=(2,−3,1)，16.解：(1)因为2bcsin2A=b2+c2−a2，

所以2sin2A=b2+c2−a2bc，

由余弦定理得，2sin2A=2cosA，

所以22sinAcosA=2cosA，

因为A∈(0,π2)，所以cosA≠0，sinA=22，

所以A=π4．

(2)由正弦定理及2ccosB=asinC，得2sinCcosB=sinAsinC17.解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150，

所以A车间产品被选取的件数为50×150=1，

B车间产品被选取的件数为150×150=3，

C车间产品被选取的件数为100×150=2．

(2)设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．

则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：(A,B1)，(A,B2)，(A,B3)，(A,C1)，(A,C2)，(B1,B2)，(B1,B3)，18.解：(1)因为底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，

所以以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

A(2,0,0)，P(0,0,4)，M(1,0,2)，C(0,4,0)，B(2,4,0)，

AP=(−2,0,4)，MB=(1,4,−2)，BC=(−2,0,0)，

设平面CMB的法向量n=(x1,y1,z1)，

则MB⋅n=x1+4y1−2z1=0BC⋅n=−2x1=0，令y1=1，即n=(0,1,2)，

设AP与平面CMB19.解：(1)证明：∵四边形EDCF为矩形，∴DE⊥CD，

又平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD=CD，

∴ED⊥平面ABCD．

取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

如图，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(−1,2,0)，E(0,0,2)，F(−1,2,2)，

设平面ABE的法向量m=(x,y,z)，

∵BE=(−1,−2,2)，AB=(0,2,0)，

由m⋅BE=−x−2y+2z=0m⋅AB=2y=0，取z=1，得m=(2,0,1)，

又DF=(−1,2,2)，∴DF⋅m=0，∴DF⊥m，

又∵DF⊄平面ABE，∴DF/​/平面ABE；

(2)D(0,0,0)，DE=(0,0,2)，DF=(−1,2,2)，BE=(−1,−2,2)，BF=(−2,0,2)，

设平面BEF的法向量n=(a,b,c)，