2024-2025学年山东省济宁实验中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济宁实验中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以下现象是随机现象的是(

)A.标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾

B.走到十字路口，遇到红灯

C.长和宽分别为a、b的矩形，其面积为a×b

D.实系数一次方程必有一实根2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(

)A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(

)A.12 B.14 C.134.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A+B−发生的概率为(

)A.13 B.12 C.235.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若CA=a，A.a+b−c B.a−b6.已知空间向量a+b+c=0，|a|=2，|bA.12 B.13 C.147.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1A.5960 B.35 C.128.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为(

)A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，若AB所在直线的方向向量为(−2,1,3)，则C′D′所在直线的方向向量可能为(

)A.(2,1,3) B.(2,−1,−3) C.(−4,2,6) D.(4,−2,6)10.下列各组事件中，是互斥事件的是(

)A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分

C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒

D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11.已知点P为三棱锥O−ABC的底面ABC所在平面内的一点，且OP=12OA+mOB−nOCA.m=1，n=−12 B.m=12，n=1

C.m=−12，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______．13.已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)=0.3，P(B−)=0.6，P(C)=0.2，则P(A∪B∪C)=14.在长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AA′=2AD=2，以D为原点，DA，DC，DD′方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则AC′=______，若点P为线段AB的中点，则P到平面A′BC′距离为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）(1)已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，求(a+b)⋅(2a−16.（15分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．17.（15分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．

(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率；

(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率．18.（17分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．

(1)求证：AM//平面BDE；

(2)求证：AM⊥平面BDF．19.（17分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为线段CD中点．

(1)求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值；

(2)参考答案1.B

2.BD

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.B

9.BC

10.ACD

11.CD

12.3413.0.9

14.(−1,2,2)

615.解：(1)∵|a|=2，|b|=3，且a⊥b，

∴|a|2=4，|b|2=9，a⋅b=0，

∴(16.解：(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，

由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，

∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．

(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：

{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，

{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，

{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21个．

(i)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，

来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，

M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，

则事件M包含的基本事件有：

{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5个基本事件，

∴事件M发生的概率P(M)=52117.解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4,5)，

“第j局甲获胜”为事件Bi(j=3,4,5)．

(Ⅰ)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3⋅A4+B3⋅B4，

由于各局比赛结果相互独立，

故P(A)=P(A3⋅A4+B3⋅B4)=P(A3⋅A4)+P(B318.解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：

O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(−1,0,0)，C(0,−1,0,)，D(1,0,0,)，

E(0,−1,1)，F(0,1,1)，M(0,0,1)．

(1)∵AM=(0,−1,1),OE=(0,−1,1)

∴AM=OE，即AM/​/OE，

又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴AM/​/平面BDE；

(2)∵BD=(2,0,0),DF=(−1,1,1)，

∴AM19.解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=a，则B1(a,0,1),E(a2,1,0),A(0,0,0),D1(0,1,1)，

故B1E=(a2,1,0)−(a,0,1)=(−a2,1,−1)