2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学高三（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学高三（上）调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x>2}，那么A∪B=(

)A.(2,4) B.(2,4] C.[1,+∞) D.(2,+∞)2.复数1−2+i+11−2iA.15i B.15 C.−3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=−ln|x| B.y=x3 C.4.函数y=3sin(2x+π4)图象的两条相邻对称轴之间的距离是A.2π B.π C.π2 D.5.在△ABC中，若b=3，c=6，C=π4，则角BA.π6 B.π3 C.2π3 D.6.声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)=10×lgx1×10−12A.106倍 B.108倍 C.1010倍 7.已知f(x)是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，满足S3−S1=10，且aA.2 B.6 C.5或6 D.129.已知函数f(x)=x2+5x,x≥0−ex+1,x<0.若A.(−∞,0] B.(−∞,5] C.(0,5] D.[0,5]10.已知定义域为R的函数f(x)，对x0∈R，若存在δ>0，对任意的x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+12.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2=2ab且sinA=12sinC，则13.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足BA=2DB−2DC，则|14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》包含一张弦表(即不同圆心角的弦长表)，这张表本质上相当于正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的160作为单位来度量弦长.将圆心角α所对的弦长记为crdα.如图，在圆O中，60°的圆心角所对的弦长恰好等于圆O的半径，因此60°的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd60°=60.若θ为圆心角，cosθ=14(0°<θ<180°)，则crdθ=15.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，O为线段AC，BD交点，T为线段BP上的动点，则以下结论正确的是______．

①当PT=BT时，PD//平面ACT；

②当PT=2BT时，PO⊥平面ACT；

③线段OT的最小值为63；

④直线AP，CT所成角取值范围为[π4三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

已知函数f(x)=3cosωx，g(x)=sin(ωx−π3)ω>0)，且g(x)的最小正周期为π．

(Ⅰ)若f(α)=62，α∈[−π,π]，求17.(本小题15分)

在①BD=CD且AD=2，②AD平分∠BAC且AD=32，③AD⊥BC且AD=2这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答．

是否存在△ABC，其中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=π3，a=318.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，CD⊥AP，△PCD为等腰直角三角形，PD=CD=2，平面PBC交平面PAD于直线l，E，F分别为棱PD，PB的中点．

(Ⅰ)求证：BC//l；

(Ⅱ)设PA=AD=2BC=2，则：

①求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值；

②在棱PC上是否存在点G，使得DG/​/平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由．19.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x+a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)当a<1时，试确定函数g(x)=f(x−a)−20.(本小题15分)

已知函数f(x)=(a+1)lnx+1x−ax．

(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若f(x)存在极大值M和极小值N，且M+N>a−1，求21.(本小题15分)

[理科]定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列.对于“三角形”数列{an}，如果函数y=f(x)使得bn=f(an)仍为一个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列{an}的“保三角形函数”，(n∈N∗).

(1)已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)=kx，(k>1)是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围；

(2)已知数列{参考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7.A

8.B

9.D

10.A

11.98

12.7813.3

14.3015.①③④

16.解：(Ⅰ)解：因为g(x)=sin(ωx−π3)的最小正周期π，

∴2π|ω|=π，解得ω=2，

由f(α)=62，得3cos2α=62，

即cos2α=22，

∴2α=2kπ±π4，k∈Z，

∵α∈[−π,π]，

∴α∈{−7π8,−π8,π8,7π817.解：因为A=π3，a=3，

所以由余弦定理a2=c2+b2−2bccosA，可得c2+b2−bc=3，

若选①，因为BD=CD，且AD=2，

可得AD=12(AB+AC)，两边平方，可得c2+b2+bc=8，

所以c2+b2=112，bc=52，

所以b+c=c2+b2+2bc=422，

所以a+b+c=422+3；

若选②，因为AD18.证明：(1)因为AD//BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

所以BC/​/平面PAD，又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=直线1，

所以BC/​/l；

解：(2)①如图，取AD的中点O，连接OP，OB，

由题意可得，BC/​/OD，且BC=OD，

则OBCD为平行四边形，

所以OB/​/CD，又CD⊥AP，CD⊥PD，AP，PD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，

则OB⊥平面PAD，又OP，OD⊂平面PAD，

则OP⊥OB，OD⊥OB，又因为PA=PD，O为AD的中点，

所以OP⊥AD，OA，OB，OP两两垂直，

以O为坐标原点，直线OA，OB，OP所在方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(−1,2,0)，D(−1,0,0)，P(0,0,3)，E(−12,0,32)，F(0,1,32)，

所以AE=(−32,0,32)，EF=(12,1,0)，

设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，

则n⊥AEEF⊥n，即n⋅AE=−32x+32z=0n⋅EF=12x+y=0，

令x=2，则y=−1，z=23，即n=(2,−1,23)，

易知平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0)，

设平面AEF与平面PAD所成角为θ，

则cosθ=|cos〈n,m〉|=|n19.解：(Ⅰ)因为f(x)=(x+a)ex，x∈R，

所以f′(x)=(x+a+1)ex.

令f′(x)=0，得x=−a−1.

当x变化时，x(−∞,−a−1)−a−1(−a−1,+∞)f′(x)−0+f(x)↘极小值↗故f(x)的单调减区间为(−∞,−a−1)；单调增区间为(−a−1,+∞)．

(Ⅱ)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．

理由如下：

由g(x)=f(x−a)−x2，得方程xex−a=x2，

显然x=0为此方程的一个实数解．

所以x=0是函数g(x)的一个零点．

当x≠0时，方程可化简为ex−a=x．

设函数F(x)=ex−a−x，则F′(x)=ex−a−1，x(−∞,a)a(a,+∞)F′(x)−0+F(x)↘极小值↗即F(x)的单调增区间为(a,+∞)；单调减区间为(−∞,a)．

所以F(x)的最小值F(x)min=F(a)=1−a．

因为

a<1，

所以F(x)min=F(a)=1−a>0，

所以对于任意x∈R，F(x)>0，

因此方程ex−a=x无实数解．

所以当x≠020.解：(Ⅰ)∵f(x)=(a+1)lnx+1x−ax(x>0)，

∴f′(x)=a+1x−1x2−a=−(x−1)(ax−1)x2，

当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；

当0<a<1时，f(x)在(0,1)，(1a,+∞)上单调递减，在(1,1a)上单调递增；

当a=1时，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>1时，f(x)在(0,1a)，(1,+∞)上单调递减，在(1a,1)上单调递增；

综上所述，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(1,+∞)；

当0<a<1时，f(x)的单调减区间为(0,1)，(1a,+∞)，单调增区间为(1,1a)；

当a=1时，f(x)的单调减区间为(0,+∞)，无增区间；

当a>1时，f(x)的单调减区间为(0,1a)，(1,+∞)，单调增区间为(1a,1)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，若f(x)存在极大值21.解：(1)显然an=n+1，an+an+