2024-2025学年江西省上饶市广丰中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省上饶市广丰中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b都是正实数，且直线2x−(b−3)y+6=0与直线bx+ay−5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为(

)A.12 B.10 C.8 D.252.已知点P(3,4)到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有(    )条．A.1 B.2 C.3 D.43.若圆C：(x−3)2+(y−4)2=4上总存在两点关于直线4ax+3by+12=0对称，则过圆C外一点(a,b)A.4 B.42 C.24.已知圆O：x2+y2=4与圆.M：x2+y2−2x+4y+4=0相交于A，B两点，直线l：3x+y−10=0，点P在直线l上，点Q在圆M上，①圆O与直线l相切；②线段AB的长为225；③|PQ|的最小值是A.①②④ B.①③④ C.②④ D.①③5.已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与CA.12 B.3+22 C.6 6.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2cA.(0,13) B.(0,12)7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则2|AF|+3|BF|的最小值为(

)A.6+52 B.268.已知抛物线E：y2=2px(p>0)上的点M(x0,3)到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A.3 B.2 C.62二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点E(3,1)及圆E1：(x−3)2+(y−1)2=4及E2：(x−3)2+(y−1)2=10，过圆EA.圆C半径为定值

B.当AB⊥x轴时，直线PE方程为x=3

C.|AB|的值不可能为4

D.当点P横坐标为0时，直线AB的方程为3x+y−6=0或3x−y−4=010.已知椭圆C：x24+y2b2=1(2>b>0)的左、右焦点分别为F1、FA.若△PF1F2的周长为6，则b=3

B.若当∠F1PF2=π3时，△PF1F2的内切圆半径为11.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与圆A.双曲线C的离心率e>2

B.若|OF2|：|MF2|=|OQ|：|QM|，则C的渐近线方程为y=±33x

C.若|M三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1：mx−y+1=0与直线l2：6x−2y−n=0平行，且l1与l2间的距离为10213.已知圆O1：(x−a)2+(y−1)2=28(a<0)与圆O2：14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)经过点P(2,y0)，F为抛物线的焦点，且|PF|=4，则y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l：x+2y−2=0．

(1)求点P(−2,−1)关于直线l的对称点坐标；

(2)求直线l1：y=x−2关于直线l对称的直线l2的方程；

(3)求直线l关于点A(1,1)16.(本小题15分)

已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m：3x+4y+5=0相切．

(1)求圆A的方程；

(2)过点B(0,−1)的直线l与圆A相交于M，N两点，当|MN|=23时，求直线l方程；

(3)已知实数x，y满足圆A的方程，求(x−2)17.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，三点A1(0,−2),A2(3,3),A3(0,1)中恰有两点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段18.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，且离心率为233．

(1)求C的方程和焦点坐标；

(2)设C的右焦点为F，过F的直线交C19.(本小题17分)

给出如下的定义和定理：

定义：若直线l与抛物线Γ有且仅有一个公共点P，且l与Γ的对称轴不平行，则称直线l与抛物线Γ相切，公共点P称为切点．

定理：过抛物线y2=2px上一点(x0,y0)处的切线方程为y0y=px0+px．

完成下述问题：

已知抛物线Γ：y2=x，焦点为F，过Γ外一点Q(不在x轴上)，作Γ的两条切线，切点分别为A，B，(A,B在x轴两侧)直线QA，QB分别交y轴于C，D两点，

(1)若|AF|=54，求线段CF的长度；

(2)若点Q参考答案1.D

2.C

3.D

4.B

5.D

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.ABD

11.AC

12.15或−5

13.(x+1)14.±4

15.解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0,y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l，

所以y0+1x0+1×(−12)=−1x0−22+2×y0−12−2=0，解得x0=25y0=195，即点P′的坐标为(25,195)；

(2)l2上任一点P1(x,y)关于l的对称点P1′(x′,y′)一定在直线l1上，反之也成立，

由y−y′x−x′×(−12)=−1x+x′2+2×y+y′2−2=0，解得x′=3x−4y+416.解：(1)以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m：3x+4y+5=0相切，

所以r=d=|−3+8+5|32+42=2，即圆的半径为2，

所以圆的方程为(x+1)2+(y−2)2=4；

(2)因为直线l与圆A相交于M，N两点，设圆心到直线l的距离d1，

因为|MN|=23=2r2−d12=24−d12，

所以圆心A到直线l的距离为d1=1，

当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=0，圆心(−1,2)到直线l的距离为1，符合题意，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx−1，即kx−y−1=0，

圆心到直线的距离d=|−k−2−1|k2+(−1)2=1，解得k=−43，

所以直线l的方程为17.(1)解：由题可知，A2(3,3)一定在椭圆上，A1(0,−2)，A3(0,1)其中一个在椭圆上，

当椭圆过点A1(0,−2),A2(3,3)，有b=23a2+3b2=1⇒b=2a=23，

所以椭圆C的方程为x212+y24=1；

当椭圆过点A2(3,3),A3(0,1)，有b=13a2+3b2=1，该方程组无解，

综上，椭圆C的方程为x212+y24=1．

(2)①解：设P(−22,y0)，

当y0=0时，直线l垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意，

所以y0≠0，

设M(x1,y1)，N(x2,18.解：(1)因为C的离心率为e=ca=233，又C的虚轴长为2，

所以2b=2，又c2=a2+b2，

解得a2=3，b2=1，c2=4，

所以C的方程为x23−y2=1，左、右焦点坐标分别为(−2,0)，(2,0)；

(2)由(1)知F(2,0)，根据题意易得过F的直线斜率存在，

设为y=k(x−2)，A(xA,yA)，B(xB,yB)19.(1)解：由题意知F(14,0)，直线QA，QB的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，

设A(x1,y1)，

由抛物线的性质可得|AF|=x1+14=54，解得x1=1，

y12=x1=1⇒y1=±1，

不妨设A(1,1)，则AQ方程为y=12(x+1)，

即y=12x+12，C(0,12)，|FC|=(14)2+(12)2=54，