24.4 第3课时 坡度问题 华师大版数学九年级上册课件

第24章解直角三角形

24.4解直角三角形

第3课时坡度问题学习目标1.了解坡度、坡角的概念；（重点）2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）观察与思考如图，从山脚到山顶有两条路

AB与

BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC与坡度、坡角有关的实际问题αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度(或坡比)坡度通常写成1:m的形式，如

i=1:6.如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作

i，

即i=h:l

.坡面水平面3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.αlhi=h:l坡面水平面显然，坡度越大，坡角

α就越大，坡面就越陡.练一练1.斜坡的坡度是，则坡角

α=_____度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1典例精析例4如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°。求路基下底的宽。(精确到0.1米)

DCAEFB12.51米4.2米）32°28°）

水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡

AB的坡度

i=1:3，斜坡

CD的坡度

i=1:2.5，

求(1)求坝底宽

AD和斜坡

AB的长（精确到0.1m）；

(2)斜坡

CD的坡面角

α（精确到1°）分析：由坡度

i会想到产生铅垂高度，即分别过点

B、C

作

AD的垂线；垂线

BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形

BEFC，则

AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度，通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；

斜坡

AB

的长度以及斜坡

CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CDF.解：(1)分别过点

B、C作

BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点

E、F，

由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中在Rt△DCF中，同理可得在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡

CD的坡度

i=tanα=1:2.5=0.4，

由计算器可算得

α=22°.=69+6+57.5=132.5m答：坝底宽

AD为132.5米，斜坡

AB的长约为72.7米。

斜坡

CD的坡角

α约为22°。探究归纳hααl)lh)与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？

我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长

l1，测出相应的仰角

α1，这样就可以算出这段山坡的高度

h1=l1sinα1.h1α1l1方法归纳

在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度

h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把

h1，h2，…，hn相加，于是得到山高

h.

以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．h1α1l1

解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识。例如，当我们要测量如图1所示大坝的高度

h时，只要测出仰角

α和大坝的坡面长度

l，就能算出

h=lsinα，但是，当我们要测量如图2所示的山高

h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角

α和山坡长度

l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略图1图2一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾斜角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.1米，

，).当堂练习解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．

在Rt△ADE中，45°30°4米12米ABCDEF在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93(米)．答：路基下底的宽约为22.93米．45°30°4米12米ABCDEF课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题