2024数控机床关键功能部件可靠性建模与评估

目录1 22 32.1 32.2 42.3 52.4 62.5 62.6 63个步骤：（1）建立威布MTBF。的统计规律。其累积分布函数(CDFP=F(t),由式(2.1)PF(t|,)1exp[t ()],,CDFPF(t|αβ)TBF落在时间轴上某值tαβ都是具有各自分布的随机变判断该型号功能部件MTBF的取值范围。（1）(0<β<1)（2β3的案例。MTBFβMTBFαβ计算而来，计算公式为MTBF=α*Γ(1+1/β)Γ(*)αα与MTBF1附近。由式(2.2),(2.3),(2.4)给出。 ) (, ( )1, (,

()(

)

) 两参数威布尔分布的概率密度函数由式(2.5)p(t|,)p(t|θ) t1exp[t ( ()],θ的后验分布。将tr代入式(2.5)，得到每个数据点对似然函数的贡献，见式p(t|θ)p(t|,)(tr)1exp[(tr)

t

t

p(t|

r

| (rr1

1exp[(r)p(t)由式(2.12)p(t)(θ)p(t|θ)d π(θ|t)可以通过贝叶斯定理得到，见式(2.9)：(θ|t)(θ)p(t| θ=(α,β)时，将式(2.7)和(2.8)代入式(2.9)，得到计算威布尔参数向量后验

t

t(, (r1exp[(r)(θ|t)=(,(, (r1exp[(r)(, (r1exp[(r)]}d(, (r1exp[(r)]}dr1 （1）（2）α（3）θ=(α,β)的后验分布即为两个参数的后验联合分布。根据式(|t)(,|t)d (|t)(,|

ˆBYS(| (|t)d 因此参数的后验边缘分布和参数的估计值均无解析解。因此后续将通过MatlabMTBF可以通过 1MTBF1 8个类别。列举如下：威布尔CDF两参数威布尔分布的CDFPF(t|,)1exp[(t)],t 为便于专家判断，需要将式(2.16)tF1(P)ln1,0P 1P 式(2.17)中的α(>0)为尺度参数，(β>0)为形状参数，θ=(αβ)为参数向量；t为P=F0(t)t=F0-1(P)CDFP=F1(t)和t=F1-1(P)CDF及其反函数。参考系统故障间隔时间(TBF)的Timebetweenfailurest/分位数。因此，选取P1=0.25，P2=0.75。研究者也可根据具体情况指定其他的概CDF的反函数可得到与P1和P2相对应的两个时间点，记为t11=F1-1(P1)，t12F1-1(P2)，以给专家提供直观的参和P2处相对应的两个时间点，记为t01=F0-1(P1)，t02Timebetweenfailurest/TheThecurveofF-1(P)fortheReferenceTheunknowncurveofF-1(P)fortheTarget,(P1t,(P2t,(P2t,(P1t Failureprobability2.1CDF2.1中两个点(P1t11)和(P2t12)的正式解释为：参考系统的TBF小于或等于t11的概率是P1TBF小于或等于t12的概率是P2。对两个点(P1,t11后总计将有题(Q1*，Q2*)。其中Q1等价于Q1*,Q2等价于Q2*。每位专家按自己的偏好任选Q1t=F0-1(P)，t01P1处的值，对t01的估计用[Lt01,Ut01]来表示，那么Lt01和Ut01的值分别为？（2.1Q2t=F0-1(P)，t02P2处的值，对t02的估计用[Lt02,Ut02]来表示，那么Lt02和Ut02的值分别为？（2.1这段时间的最大和最小值（Lt01和Ut01的值。出这段时间的最大和最小值（Lt02和Ut02的值。Q1&Q2（Q1*&Q2*）之前，每位技术专家的任务是接收和对P1P2t01t02的范围（2.1，即给出（1）（2）（3）（4）（5）（1）（2）（3（4）mj位专家给出的估计区间表示为[Lt01_j,Ut01_j]和[Lt02_j,Ut02_j],j=1,2,...m。为了将所有专家的答案整合并形成两个单独的区间[Lt01,Ut01]和[Lt02,Ut02]j个专家赋以一个权重Ej%，以表明其重要程度或其估计区间的准确程度，且需要满足E1%+E2%+...+Em%=1。赋值的依据为每个Ej%2.1专家编 权重[Lt01_j,[Lt02_j, [Lt01_1,[Lt02_1, [Lt01_2,[Lt02_2, [Lt01_m,[Lt02_m,综 [Lt01,[Lt02,

(Ej%

_j)

(Ej%

_

(Ej%

_j)

(Ej%

_ 因此，我们得到了两个区间[Lt01Ut01&Lt02Ut02]作为最终的、量化的专家对于目标系统来说，我们认为专家判断的最终答案[Lt01Ut01&Lt02Ut02]等[Lt01Ut01&Lt02Ut02]的同时，隐含地给出了参数αβ所在的分布区间[αLαU]&[βL,βU]。因此，需要数学技巧将专家判断给出的估计区间[Lt01,Ut01]&[Lt02,Ut02]转换为[αL,αU]&[βL,βU]。在预先给定概率值P1和P2的前提下，分别从区间[Lt01,Ut01]&[Lt02,Ut02]中任意取出两个值，组成数对(t01,t02)，该数对将确定数对(α,β)。推导如下：,,1exp[(t01)]P,t 1exp[(t02)]P,t 因此β,α可以由式(2.20)和(2.21)得到，见式(2.22)和(2.23) lnt01lnt02explnt1lnln1P1 (t01t02)到另一组数对(αβ)的转换就由式(2.22)和(2.23)实现给定P1和P2的前提下，根据式(2.22)和(2.23)，分别将α,β作为以(t01,t02)为自变量的函数，画出函数α(t01,t02)和β(t01,t02)2.22.3。

2.2α(t01t02)

2.3β(t01,t02)2.22.3可以看出，t01与t02的最值的组合决定αβ的最值。因此如果将点(Lt01,Lt02),(Lt01,Ut02),(Ut01,Lt02),(Ut01,Ut02)依次代入式(3.7)和(3.8)得到不同的(αβ)值，分别表示为(α1β1α2β2α3β3)和(α4β4)，则从中即可找到αβ的最值，从而确定两参数各自的分布区间[αL,αU]和[βL,βU]。 ()()1,( ()()1,(, (θ)(,)()()()1( 贝叶斯可靠性建模与评估的两大关键问题（1（2）3节解床可靠性建模（参数估计）与评估（MTBF的计算。其中计算后验分布是核心,Δα=(αU-αL)/nαα0*(=αL),α1*,α2*,,αn*(=αU)αi∈[αi-1*,αi*]，则有αi{αi}={α1,α2,αnα}对于βπ(β)，定义域为[βL,βU]。将区间[βLβU]nββ2*,...,βn*(=βU)，在每个子区间里面选择一点βj∈[βj-1*,βj*]，则有βj{βj}={β1,β2,βnβ}定义概率质量函数πm(αi)和πm(βj)，见式(4.1)和式(4.2)i mi {,,...,}，i1,2,..., jmj ,j{1,2,...,n},j1,2,..., j1因此概率质量函数πm(αi)πm(βj)αβ的近似先验分布。令θi,jαiβj)，且认为两个参数相互独立。定义概率质量函数πm(θi,j)(4.3) i, i, 其中πm(θi,j)的定义域表示为{θi,j}={(αi,βj)},i=1,2,…,nα,j=1,2,…,nβ∑∑πm(θi,j)=∑∑[πm(αi)πm(βj)]=1πm(θi,j)θ的近似先验πm(θi,j)Θ来表示，Θ中包含的元素总个数为nΘ=nα×nβ，见式(2.30)。11 (, (, (, , (, (, (, ) 定义域Θ中每一个元素θi,j=(αi,βj)的概率质量也用一个矩阵πm(Θ)表示，称 m

(,

,

2

(,

) , , m

,

m

,2

m

,n计算θi,j给定数据样本t=(t1,t2,...,tn)，元素θij=(αi,βj)的后验概率质量πm(θi,j|t)可以θi,j为离散变量，我们将连续形式的贝叶斯定理(,)p(t|, |t)(,|t) i, m(i)m(j)p(tr|i,j

r

n [m(i)m(j)p(tr|i,j

j

(

(

r exp[ ) r n

{()(){j(r)j1exp[(r)ji1j r1 , 1

(,|

(, t (, (,| (,| (, |t αi与βj将式(2.33)iαi的后验边缘m(j|t)

候，损失函数通常表示为式(2.35)，以尺度参数α为例： A>0,B>0。当B=2 β(2.37)

将参数估计值代入式(2.37)得到目标系统的MTBF估计值。按照网格近似法的基本步骤，采用Matlab软件编制数据分析程序，计算出MTBF估计值。f(t)

t

)1

t

)

tt

tF(