02挑战压轴题（填空题）2

（挑战压轴题）2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（杭州专用）—02挑战压轴题（填空题）1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；BCAD的值等于_________【答案】36【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2=EO•BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x=5-1∴OE=5-1∴AE=OAOE=a5-12a=∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴BCAD故答案为：36，3+5【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=AB，则∠DAF=【答案】18【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．【详解】连接MD，设∠DAF=x根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x∴∠DMF=2x∵△DCE折叠得到△DFE∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE又MF=AB∴MF=DF∴∠MDF=2x∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°∴∠CDE=∠ACD=x∴∠FDE=∠CDE=x∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°∴x=18°故∠DAF=18°故答案为18．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键．3．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____【答案】25﹣1【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，再根据折叠的性质得到，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，然后根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，∠∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F∴，∠CFE=∠B=90°，EF=BE∴CF=AD，∴∠∴∠在△ADE和△FCD中，∠∴△∴DF=AE=2∵∠∴∠∵∠∴△∴AEDE=∴2解得EF=5-1或则BE=EF=故答案为：2，5-【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．4．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．【答案】2【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝AC2-BC2＝＝【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵sin∠BAC＝BCAC＝，∴设BC＝x，AC＝3x，∴AB＝AC2-BC2＝＝∴OB＝12AB＝2x∴tan∠BOC＝＝22，故答案为：22【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．5．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP的面积为4，△D【答案】65【分析】根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.【详解】∵A'E∥PF∴∠A'EP=∠D'PH又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°∴∠A'=∠D'∴△A'EP～△D'PH又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P∴A'P=D'P设A'P=D'P=x∵S△A'EP：S△D'PH=4：1∴A'E=2D'P=2x∴S△A'EP=∵x>0∴∴A'P=D'P=2∴A'E=2D'P=4∴∴∴∴∴∴【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=5，，点E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上的点F处．（1）的长度为___________；（2）设点P、、G分别在线段DE、BC、BA上，当且四边形BGPH为矩形时，求PE的长___________．【答案】32【分析】（1）由矩形性质、折叠的性质以及勾股定理求得、的长，设BE=x，然后在Rt△BEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可；（2）由线段垂直平分线的性质得BH=2，再证△EDC∽△EPH，得PHCD=EHEC，则【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90由折叠可得：DF=CD=5，CE=EF，在Rt△ADF中，由勾股定理得：∴BF=AB设BE=x，则CE=FE=4-在Rt△BEF中，解得：x=3即，故答案为：32（2）当，且四边形BGPH为矩形时，点P在BC的垂直平分线上，即PH垂直平分BC，∴BH=CH=∵BE=，EC=52∵四边形ABCD是矩形，∴CD∴PH∴△∴PH即PH5解得：PH=1，在Rt△PEH中，故答案为：52【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．2．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考二模）已知矩形ABCD，AB=2，AD=5，E为DC上的点，连结AE，将△ADE沿AE翻折，点D的对应点为F，交BC于GEF交BC于N，H为AB上的点，将△BHG沿HG翻折，使B点的对应点M正好落在上，若∠AGB=30°，则AM=，DEFN=【答案】4-23【分析】①AM=x，则根据AH+HB=AB可得方程，进而得到解答；②利用翻折性质和三角函数证明△BHG∽△DEA可得，得到，可知GF=1，再利用特殊角的三角形函数值得到出FN的长，最后得到的值．【详解】①解：设AM=x，∵∠AGB=30∴∠HAM=60∵∠HMG=∴∠AMH=90∴AH=2AM=2x，∵AH+HB=AB，∴，解得：x=4-即；②解：∵在Rt△ABG中，AB=2，∠AGB=30°，∴∠GAB=60°，BH=AB-∴BG=ABtan∠∵AD∥∴根据翻折的性质可得：，∵，∴△BHG∴，即，解得：，∵AB=2，∴，∴GF=AF-又∵∠AGB=∴，∴NF=GF×∴DEFN故答案为：4-23，10【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练相似三角形的性质和判定是解题的关键．3．（2022·浙江杭州·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在边AB，CD上，将四边形沿MN翻折，使AD的对应线段EF经过顶点C，当EF⊥CD时，则CFCE的值是_____【答案】12【分析】由菱形的性质得出∠B=∠D，AD=DC，由折叠的性质得出∠D=∠F，AD=EF，DN=NF，得出sinB=sinF=【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠∵将四边形沿MN翻折，∴∠D=∠F，AD=EF，∴∠B=∴sinB设，NF=DN=5x，∴CF=3x，CD=9x，∴EF=9x，∴CE=EF-∴CFCE故答案为：12【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，菱形的性质以及解直角三角形，正确表示出CE的长是解题关键．4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）∠FDG=________°（2）若DE=1，DF=22，则________．【答案】45【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知∠FDG度数．（2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵FG⊥AG，∴∠G=∠A=90°，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=FE，∠BEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBA，在△ABE和△GEF中，∠A=∴△ABE≌△GEF（AAS），∴AE=FG，AB=GE，∵在正方形ABCD中，AB=AD∴∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，∴AE=DG=FG，∴∠FDG=∠DFG=45°．故填：45°．（2）如图，作FH⊥CD于H，∴∠FHD=90°又∵∠G=∠GDH=90°，∴四边形DGFH是矩形，又∵DG=FG，∴四边形DGFH是正方形，∴DH=FH=DG=2，∴AG∴DEFH∴DM=，MH=43，作MP⊥DF于P，∵∠MDP=∠DMP=45°，∴DP=MP，∵DP2+MP2=DM2，∴DP=MP=23∴PF=5∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，∴∠MFP=∠NFH，∵∠MPF=∠NHF=90°，∴△MPF∽△NHF,∴MPNH=PF∴NH=25∴MN=MH+NH=43+25=故填：．【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为-5，0，对角线AC和OB相交于点D且AC⋅OB=40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△【答案】2【分析】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得S△OAC=12S菱形OABC=10，再由OA=5，求出CG=4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG=3，即C-3，【详解】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于∵BO⋅∴S菱形∴S△∴12∵A-∴OA=5，∴CG=4，在Rt△OGC中，∴OG=O∴C-∵四边形OABC是菱形，∴B-∵D为BO的中点，∴D-又∵D在反比例函数上，∴k=-∵C-∴E的纵坐标为4，又∵E在反比例函数上，∴E的横坐标为-8∴E-∴，∴S△故答案为：2．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．6．（2022·浙江杭州·校考一模）如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD,BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，【答案】7【分析】延长NF交CD于点H，利用折叠性质得出∠A=∠DFH，从而判断NH⊥CD，再设出DM，分别表示出各个线段的长度即可求解．【详解】解：如图，延长NF交CD于点H，∵EF⊥∴∠ADF=90∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥∴∠A+∵四边形AMNB沿MN翻折，∴∠A=∵∠DFN+∴∠A=∴∠DFH+∴∠DHF=90∴NH⊥设DM=4k，∵tanA∴tanE∴DE=3k,EM=5k，∴CD=AD=AM+DM=EM+DM=9k,DF=EF-∵tan∠∴sin∠∴DH=24∴CH=CD-∵cosC∴CN=7k，∴BN=BC-∴CNBN故答案为：72【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出NH⊥7．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，反比例函数y=36x过BC的中点D．交AB于点E，F为AB上的一点，BF＝2AF，过点F的双曲线y=kx交OD于点P，交OE于点Q，连结，则【答案】26【分析】（1）根据反比例函数的性质及矩形的性质设Ba，b（2）根据反比例函数的性质得到面积之间的关系，再根据坐标P、Q点的坐标即可求得【详解】解：①∵BF＝2AF，点D是∴CD=2BC，AF=1设Ba∴Aa，0，F∵反比例函数y=36x过BC∴a2∴ab=66∵双曲线y=kx过点∴13∴13②过点P作PG⊥OA于点G，过点Q作于点，∵点P、Q都在抛物线双曲线∴S△∵S△OPG=S∴S△∵S△OPQ=S∴S△∵QH∥∴四边形PGHQ是梯形，∵P1∴HQ=6，PG=26，∴S四边形故答案为：26【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数的性质是解题的关键．8．（2021·浙江温州·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B'，连接B'C，当△B'【答案】103或【分析】分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案；【详解】解：∵△B当时，∵点N是AB边上的中点，AB=10，∴，∵NB∴点B的对应点B'不能落在CD∴∠B当时，如图所示，由折叠性质可得，∠BMN=∴BM=BN=1当时，如图所示∵∠N∴B'、N、C由勾股定理可得，NC=N设，则CM=12-x∴12解得：x=10综上所述BM的长为103或5【点睛】本题考查翻折的性质，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．9．（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图，△ABC∼△DBE，延长AD交CE于点P，若∠DEB=45°，AC=22，DE=2，BE=1.5，则tan∠【答案】2【分析】如图作AH⊥BC于H．首先证明，推出∠DPC=∠ABC，求出AH、BH【详解】如图作AH⊥BC于H．BC交AP于O．∵△ABC∼△DBE，AC=22，DE=∴∠ABC=∠DBE，ABBD∴AB∵BE=1.5，∴BC=3，∠ABD=∴，∴∠BAD=∵∠AOB=∴∠DPC=在Rt△ACH中，∵AC=22∴AH=HC=2，∴BH=1，∴tan∠故答案为：2．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．（2022·浙江杭州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当PD'⊥AE时，AP=_______；当△APD'【答案】10330-125【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=5，设AP=x，则PD'=PD=6-x，当∠AD'【详解】解：在矩形ABCD中，∵AB=4，BC=6，∴AD=BC=6，∠BAD=∵E是BC的中点，∴BE=CE=3，∴，∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'∴PD设AP=x，则PD当PD∴∠A∵AD∥∴∠PA∴△ABE∴APAE∴x5∴x=10∴AP=10如图2中，当时，设AP=x，则PD=PD'∵AD∥∴∠HA∵∠AH∴△AH∴AHBE∴AH3∴，HD=45∴PH=x-在Rt△6-解得x=30-125或30+12如图3中，当D'A=D'P时，过点D'作D'H⊥AP于∵AHA∴12∴x=36综上所述，满足条件的AP的值为30-125或36故答案为：103；30-125或【点睛】本题属于几何综合题，是中考填空题压轴题，考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．11．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校联考模拟预测）如图，折叠矩形纸片ABCD，AB=6，BC=10，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H（1）如图1，若AE=4，则DG的长是______．（2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______．【答案】48【分析】（1）证△AEB≌△DGE即可；（2）先证CE=CB=10，从而求出CF=8，则AE=EF=2，DE=8，再证△ABE∽△DEG，得DGDE=AEAB，即可求出DG=83，由勾股定理即可求得EG=，最后根据S四边形DGFE=【详解】解：（1）如图1，∵矩形ABCD，∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°，∴DE=ADAE=104=6，∴DE=AB，由折叠得：∠AEB=∠BEF，∠DEG=∠HEG，∴∠AEB+∠BEF+∠DEG+∠HEG=180°，∴∠AEB+∠DEG=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DEG，∴△AEB≌△DGE（ASA），∴DG=AE=4，故答案为：4；（2）如图2，由折叠可知∠AEB=∠FEB，AE=EF，AB=BF=6，∠BFE=∠A=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠FEB=∠EBC，∴CE=CB=10，∵点C在直线EF上，∴∠BFC=90°，CF=10EF=10AE，∴CF=BC∴AE=EF=CECF=108=2，∴DE=ADAE=102=8，由（1）知，∠ABE=∠DEG，又∵∠GDE=∠A=90°，∴△ABE∽△DEG，∴DGDE=AE∴DG=83∴EG=DE由折叠可知，EG垂直平分线段DH，∴S四边形DGFE=12∴12∴12∴DH=810故答案为：810【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题属矩形折叠问题，属中考试常考题型．12．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，EH，EF，FG，GH别为折痕，其中点A，B落在点J处，点C，D落在点K处，且点H，J，K，F在同一直线上．（1）四边形EFGH的形状为____________．（2）若AHDH=34，JK＝2，则【答案】矩形；46【分析】（1）由题意，由折叠的性质得到∠HEJ=12∠AEJ，∠FEJ=12（2）设AH=3x，DH=4x，则求出，得到AH和DH的长度，然后证明△EFJ≅△GHK，从而求出HF的长度，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，求出【详解】解：（1）根据题意，由折叠的性质，∠HEJ=12∠AEJ∴∠HEJ+即∠HEF=90同理可求：∠EFG=90°，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：矩形；（2）∵AHDH设AH=3x，DH=4x，由折叠的性质，则AH=HJ，HD=HK，∵JK=HK-∴4x-3x=2∴AH=32，；由（1）可知，四边形EFGH是矩形，∴EF=HG，EF∥HG，∴∠EFJ=∠GHK，∵∠EJF=∠GKH=90°，∴△EFJ≌△GHK，∴FJ=HK，∵HD=HK，FB=FJ，∴HD=HK=FB=FJ=；∴HF=HK+FJ-如图，过点H作HI⊥BC于点I，则HI=AB，BI=AH，∴FI=BF-在直角△FHIHI=F∴；故答案为：46【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意．13．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF=45°，则GF的长为__________．【答案】9【分析】连接交AE于，根据正方形的性质得到，∠ABE=∠C=90°，根据全等三角形的性质得到，AE=BF，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接交AE于，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∵点E、F分别是边BC，CD的中点，∴BE=CF在与中，AB=BC∠∴△∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，，∴∠AEB+∴∠∴∠∵∠∴△∵AB=BC=6，∴BE=CF=3∴AE=BF=∵S∴BH=AB∴HF=HG=BF-∴GF=2故答案为：910【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处.已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于___________.【答案】94或【分析】分∠CFE=90°和∠CEF=90°两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解．【详解】解：①如图，当∠CFE=90°时，∵四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB=6，AD=4，∴∠PAE=∠PFE=∠EBC=90°，AE=EF=BE=3，∴∠PFE+∠CFE=180°，∴P、F、C三点一线，∴△EFC≌△EBC，∴FC=BC=4，EC=32+42=5，∠FEC∴∠PEF+∠FEC=90°，设AP=x，则PC=x+4，∴(x+4)解得x=94②如图，当∠CEF=90°∴∠CEB+2∠PEA=90°，∴∠CEB+∠PEA=90°∠PEA，延长PE、CB，二线交于点G，∵AE=BE，∠PAE=∠GBE=90°，∠AEP=∠BEG，∴△PAE≌△GBE，∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，∴∠G=90°∠GEB=90°∠PEA，∠CEB+∠PEA=90°∠PEA，∴∠G=∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∴CE=CBC+BG=BC+AP，∴5=4+AP，解得PA=1，故答案为：94或1【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．15．（2022·浙江杭州·校考一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=8，将AB沿AE翻折，使点B落在B′处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'，若CF=3，则∠AEF=________度，AC'=________【答案】902【分析】连接，设EC=m，则，在Rt△ADF中，，在Rt△ABE中，，在Rt△ECF中，，在Rt△AEF中，，则有，解得m=4或m=6，由BE>EC，所以m=4，可求B'C'=2，最后根据勾股定理可得AC'的长．【详解】解：如图，连接，设EC=m，∵AD=10．由折叠可知，AB=AB'，CE=C'E，，∴∠，∴DF=5．在Rt△ADF中，AF．在Rt△ABE中，AE．在Rt△ECF中，，．在Rt△AEF中，，，，∴m=4或m=6．，∴m=4，，，．故答案为90，217【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，F是OC的中点，连接EF交OB于点P，那么OPPB【答案】【分析】根据矩形性质得到OA=OB=OC，利用三角形的三线合一得AE=EB，过O作OQ∥AB交EF于点Q，则有△OQF∽△AEF，△OQP∽△BEP，计算即可．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵F是OC的中点，∴OF=1又∵OA=OB，∴AE=EB，过O作OQ∥AB交EF于点Q，∴△OQF∽△AEF，△OQP∴OPPB故答案为：13【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．2．（2022·浙江宁波·校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，已知BE=2，AB=AE=CE，且∠AEF=∠B，设，DFCF=y，则y关于x的函数关系式是______【答案】y=【分析】延长AD与EF的延长线交于点M，证明△MAE∽△ABE，由其相似比用x表示DM，再证△DMF∽△CEF∽，便可得出结果．【详解】解：延长AD与EF的延长线交于点M，如下图，∵，∴∠B=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠MAE=∵∠B=∴∠B=∴△MAE∴MAAB∵AB=AE=EC=x，BE=2，∴MAx∴MA=1∴AD=BC=x+2，∴DM=AM-∵DM∥∴△DMF∴DFCF∴DFCF∴y=1故答案为：y=x【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键在于构造相似三角形．3．（2023·浙江丽水·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，．折叠该矩形，使点D落在边AB上的点G处，折痕分别与边AD，CD交于点E，F．取BC的中点，连接FH，沿FH折叠，使点C恰好落在FG上的点I处，则GI的长为________．【答案】2或4【分析】连接DG，作FM⊥AB交AB于点M，DG与EF相交于N，根据矩形和翻折的性质可证得△CFH∽△AGD，设CF=x，则GF=DF=6-x，从而得到AG=2x，GM=6-3x，再由GM2+M【详解】解：连接DG，作FM⊥AB交AB于点M，DG与EF相交于N，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，FM⊥AB，∴∠B=∠C=∠FMB=90°，∴四边形为矩形，∴BC=FM=AD=4，MB=CF，由翻折的性质可得：EF⊥DG，∠DFE=∠GFE，∠CFH=∠IFH，∵∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∴∠∵∠∴△∴AG设CF=x，则GF=DF=6-x，∴AG=2x，GM=6-∵GM2+M∴x1=2，∵GI=GF∴GI的长为2或4故答案为2或4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，P是矩形ABCD对角线AC上的一个动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．若AC=53且tan∠ACB=34，当⊙P与矩形【答案】58或【分析】由锐角的正切求出AB，BC的长，分两种情况，由相似三角形的性质即可求出【详解】解：由题意知⊙P只能与AD，AB相切，作PM⊥AD与M，PN⊥AB于∵tan∠∴令AB=3x，∴，∴x=1∴AB=1，BC=4当⊙P与AD相切时，PM=PC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，BC⊥AB，CD=AB=1，∴PM∥∴△APM∴，∵，∴，∴；当⊙P与AB相切时，PN=PC，∵PN∥∴△ANP∴，∵，∴，∴．∴PC的长是58或20故答案为：58或20【点睛】本题考查切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．5．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，在⊙O中，直径AB=2，延长AB至C，使BC=OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为___________．【答案】22+1【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF=CO，连接DF，从而可证△OCE≌△FCD，进而得到OE=FD，将求线段OE的最大值转化为求FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．【详解】如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF=CO，连接DF，∴∠DCE=∴∠OCE=∵CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CD=CE，在△OCE和△FCD中，CD=CE∠∴△OCE∴OE=FD，连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，∵AB=2，BC=OB，∴CF=CO=2，∴OF=22∴FH=OF+OH=22∴OE故答案为：22【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将OE转化为其他线段进而求最大值．6．（2023·浙江·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且EC＝ED，在AD上取点G，连接GC，GD，AD．若，BD长为2π，则CD＝_________．【答案】6【分析】连接OC，OD，，圆周角定理求得∠COD＝120°，由OC＝OD，得到△OCD是等腰三角形，根据EC＝ED，等腰三角形三线合一得到OE⊥CD，∠COE＝∠DOE＝12∠COD＝60°，根据BD长为2π求得圆的半径r＝6，在Rt△ODE中，利用解直角三角形进一步即可得到CD．【详解】解：连接OC，OD，∵，∴∠COD＝2∠G＝120°，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰三角形，∵EC＝ED，∴OE⊥CD，∠COE＝∠DOE＝12∠COD＝60°设⊙O的半径为r∵BD的长＝60π×r180∴r＝6，在Rt△ODE中，∠OED＝90°，OD＝6，∠DOE＝60°，∵EDOD∴ED＝ODsin∠DOE＝6×sin60°＝3，∴EC＝ED＝3，∴CD＝EC＋ED＝6，故答案为：6．【点睛】此题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、弧长公式等，求出⊙O的半径是解题的关键．7．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为_____．【答案】75或【分析】分两种情况：①如图1，∠D'AB'＝90°，②如图2，∠AB'D'＝90°，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．【详解】解：分两种情况：①如图1，∠D'AB'＝90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，∵tan∠ABD＝ADAB=B'G设B'G＝3x，BG＝4x，∴BB'＝a＝5x，由平移得：DD'＝BB'＝5x，∴D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，∴AG＝AB＝BG＝4﹣4x，∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，∠AD'H+∠HAD'＝90°，∴∠AD'H＝∠GAB'，∵∠H＝∠AGB'＝90°，∴△D'HA∽△AGB'，∴D'HAG=AH∴x＝725∴a＝5×725＝7②如图2，∠AB'D'＝90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，∴∠AMB'＝90°，由平移得：B'C'＝BC＝3，同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，∴AM＝4﹣4m，∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，∴∠D'B'C'＝∠MAB'，∵∠C'＝∠AMB'＝90°，∴△D'C'B'∽△B'MA，∴C'D'MB'=B'C'∴m＝1625∴a＝5m＝5×1625＝16综上，a的值是75或16【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．8．（2023·浙江舟山·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，使CB'∥AB，分别延长AB，CA'相交于点D，则线段BD的长为__【答案】6.【详解】试题分析：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，AB＝2，AC＝4，∴A′B′＝AB＝2，AC′＝AC＝4，∠CA′B′＝∠A.又∵CB′∥AB，∴∠A′CB′＝∠A.∴△A′CB′∽△DAC.∴CA'AD=A'B'AC，即考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质.9．（2022·浙江杭州·校考一模）如图，已如矩形ABCD，将△BCD绕点B顺时针旋转90°至△BEF，连接AC，BF，若点A，C，F恰好在同一条直线上，则ABBC=【答案】1+【分析】设AB=a，BC=b，由矩形和旋转的性质可知EF=a，BE=b．易证△ABC∼△AEF，即得出ABAB+BE=BCEF，即aa+b=ba，将b看作已知数，根据公式法即可求出a=【详解】设AB=a，BC=b，由矩形和旋转的性质可知EF=a，BE=b，∠E=∠BCD=∠ABC=90°，∴BC∥∴△ABC∴ABAE=BC∴aa+b整理，得：a2∴a=b∵a>0，∴a=b+∴ABBC故答案为：1+5【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用．利用三角形相似求出AB和BC的关系是解题关键．10．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上．连接AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC=3，，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为______【答案】38或【分析】分类讨论当∠EDF=90°时和当∠DFE=90°时，再根据翻折的性质结合勾股定理即可解答．【详解】分类讨论：①如图，当∠EDF=90°时，∵∠C=90°，AC=3，，∴AB=AC2由翻折的性质可知∠E=∠B，ED=BD，AE=AB=5，∴tan∠设DF=3x，则ED=BD=4x，∴CF=BC-BD-DF=4-7x，EF=D∴AF=AE-∵在Rt△ACF中，AF∴(5-解得：x1∴DF=3x=3∴S△②如图，当∠DFE=90°时，此时F点与C点重合，∵AE=AB=5，AC=3，∴EF=AE-设DF=y，则ED=BD=4-y，∵在Rt△DEF中，ED∴(4-解得：y=3∴DF=3∴S△综上可知△DEF的面积为38或3故答案为：38或3【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用．利用分类讨论的思想是解题关键．11．（2022·浙江杭州·统考一模）如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝4，在BC上任意取一点E，将△DEC沿DE折叠，（1）若点C恰好落在对角线BD上的点C'处，则CE＝______；（2）若点C恰好落在对角线AC上的点C'处，则CE＝【答案】32【分析】（1）由勾股定理，得BD=5，由折叠可知，CD=C'D=3，∠DC'E=90°，设CE==x，则BE=4x，BC'=2，根据勾股定理BC'（2）令AC与DE交于点F，由题可知，DE垂直平分CC'，求出CF=3x9+x2，则AF=53x9+x2，证△AFD【详解】解：（1）在矩形ABCD中AB＝CD=3，AD＝BC=4∠C=90°在Rt△BCD中BD=CD2+B由折叠可知，CD=C'D=3，∠D∵点C恰好落在对角线BD上的点C∴∠BC'设CE==x，则BE=4x，BC'=5在Rt△BC∴BC'2+2=BE∴22+x2=（4x）2解得x=3故答案为：32（2）解：令AC与DE交于点F∵点C恰好落在对角线AC上∴DE垂直平分C在Rt△CDE中DE=DC2∵DE×CF=EC×DC∴CF=3x∴AF=53x∵AD//BC∴△AFD∽△CFE∴AFCF=∴5-3x9+16x272x+81=0解得x=9故答案为：94【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，运用到的知识点有勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识点，熟练地掌握这些知识是解决问题的关键.12．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数y＝kx的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF＝2DF，DG﹣AG＝3，则k的值是_____【答案】4【分析】过点C作CH⊥OA，根据相似三角形的判定可得ODOH=DFCF=12，AGHG=AECE，再由DG﹣AG=3可知OH=2，CH=k2，进而可证【详解】解：过点C作CH⊥OA，如图，则OF∥CH∥EG∴ODOH=DF∴OH=2OD∵四边形AB