工程力学第2章

第2章平面汇交力系2.3.1力的分解2.3力的分解力的投影为得到唯一确定的结果，则需要对分力的大小、方向等附加一定的限制条件。用力的平行四边形法则将力R分解为两个分力，称为力的分解力R沿M和N方向分解F1和F2称为R的分力力R两个相互垂直方向分解2.3.2力的投影力F在某轴x上的投影，等于力F的大小乘以力与该轴正向夹角α的余弦，记为X，即当力与轴的正向夹角α为锐角时取正值，反之，取负值。力在轴上的投影是代数量。已知力F在两个正交轴上的投影X和Y，可以确定力F的大小和方向：力F与其在两个正交轴上的投影X和Y是1-1对应的。因此可以用力F与其在两个正交轴上的投影X和Y

来表示力。力F与其在任意两个斜交的轴上的投影X和Y

来唯一表示。2.3.3合力投影定理由ae=ab+bc-cd+de

合力投影定理：力系合力在任一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。2.4平面汇交力系合成与平衡的解析法2.4.1平面汇交力系合成的解析法以汇交点O为原点建立直角坐标系Oxy,按合力投影定理求合力在x,y轴上的投影计算合力的大小和方向的这种方法，称为平面汇交力系合成的解析法。例2-3在图示的平面汇交力系中，F1=30N、F2=100N、F3=20N。O点为力系的汇交点，求该力系的合力。解取力系汇交点O为坐标原点，建立坐标系如图。合力在轴上的投影分别为：合力的大小和方向：解得合力作用线通过O点，位于第二象限内。

2.4.2平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力R等于零。合力R为零等价于平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。例2-4小滑轮C连接在铰接三脚架ABC上。绳索绕过绞车D，另一端悬挂重P=100kN的重物。不计各构件自重和滑轮C的尺寸。求杆AC和BC所受的力。解（1）取分离体，画受力图。取滑轮C和绕在它上面的一小段绳索为分离体。（2）列平衡方程，求解未知量。选力系汇交点C为坐标原点，坐标轴如图所示。写平衡方程：

(1)

(2)由式(2)解得SCA=300N，将此值代入式(1)，解得SCB=-389.7N。SCA为正值，表明受力图中力SCA的指向与实际指向相同。SCB为负值，表明受力图中力SCB的指向与实际指向相反，即杆BC受压。例2-5连杆机构由三个无重杆铰接组成。铰B处受力水平为P作用，当机构处于平衡状态时，铰C处的水平力F的值为多大？解:解题思路分析：机构整体所受的力系（P，F，SA，SD）不是平面汇交力系。所以，不能取整体机构作为研究对象来求解。待求力F作用在铰C上，铰C受平面汇交力系（F，SCB，SCD）作用。但力系中三个力均为未知，只有事先求得SCB和SCD，才能求力F。铰C的受力情况如图所示。铰B受平面汇交力系（P，SBC，SBA）作用。以铰B为研究对象，可求SBC。杆BC为二力杆，可知SBC=SCB，且二力指向相反。综上分析，求解过程如下：(1)取铰B为分离体，受力图如图所示。选y轴与力SBA垂直，由平衡方程解得

(2)取铰C为分离体，受力图如图所示。选y轴与力SCD垂直，由平衡方程代入解得将以上分析和求解的过程中，着重强调的是两个问题：一是要在了解研究对象的受力情况的基础上，恰当地选取分离体，以最简捷的思路给出求解未知量的过程。二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程，提高计算工作的效率。求解较复杂的平面问题时首先构思解题方案，形成解题思路，这不但是正确、顺利地解题的指导和保证，更是培养分析、解决问题能力的必不可缺的训练。例2-6结构由AB、BC、EF三个构件组成，尺寸和荷载如图所示。不计构件自重，求铰B处构件AB与BC的相互作用力。解：解题思路分析：铰B的约束反力是整体结构的内力，不能在整体结构上求得。可取构件AB或BC为研究对象，求铰B的反力。杆AB在A、E、B三点受约束反力作用，其中A、E两点的约束反力作用线已知，可用三力平衡定理确定B点反力作用线并用平面汇交力系平衡方程求解。杆AB上A、E、B三点所受力均为未知，但A点反力可从整体结构的受力图上求得。综上分析，求解过程如下：取整体结构为分离体。所受的外力为主动力P，链杆支座A的反力NA，固定铰支座C的反力NC。反力NC的作用线用三力平衡定理确定。受力图如图所示，其中反力NA和NC的指向是假定的。选坐标轴y与反力NE垂直，列平衡方程：其中，代入方程，解得小结

1．平面汇交力系合成的结果是一合力，合力作用于力系的汇交点，合力的大小和方向以用两种方法得到：(1)几何法作力多边形，由力多边形的封闭边决定合力的大小和方向。(2)解析法用合力投影定理求合力在直角坐标系两个轴上的投影，按式(2-6)决定合力的大小和方向。2．平面汇交力系的平衡条件是力系的合力为零。平衡条件有两种不同的表达形式：(1)平衡的几何条件力多边形是自身封闭的力多边形。(2)平衡的解析条件合力在两个坐标轴上的投影分别为零。3．两种平衡条件的应用方法(1)应用平衡的几何条件解题。作受力分析时，对未知力只定出作用线方位。通过作出封闭力多边形，确定未知力的指向，并求解未知力的值。(2)应用平衡方程解题。作受力分析时，需假定未知力的