153分式方程AB分层训练

15.3分式方程一、单选题1．下列方程中，是分式方程的是（

）A．15+x4=3 B．x−4y=7 【答案】D【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．【详解】解：15x−4y=7是二元一次方程，故B不符合题意；2x=3(x−5)是一元一次方程，故C不符合题意；4x−2故选D【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．2．关于x的方程1−xx−2=1A．方程两边都乘以x−2得：1−x=1−2x−2 B．x=2C．方程两边都乘以2−x得：1−x=1−22−x D．x=2【答案】D【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：A、方程两边同乘以x−2，得：1−x=−1−2x−2B、解方程得x=2，当x=2时分母x−2=0，x=2是方程的增根，故本选项不符合题意；C、方程两边同乘以2−x，得：x−1=1−22−xD、解方程得x=2，当x=2时分母x−2=0，x=2是方程的增根，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3．关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（A．a>−1 B．a>−1且a≠0 C．a<−1 D．a<−1且a≠−2【答案】D【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．【详解】解：去分母得，2x+a=x−1，∴x=−1−a，∵方程的解是正数，∴−1−a>0即a<−1，又因为x−1≠0，∴a≠−2，则a的取值范围是a<−1且a≠−2，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠−2，这是因为忽略了x−1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．4．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（

）A．1080x=1080x−15+6 B．1080x【答案】C【分析】根据每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书得到每个B型包装箱可以装书（x+15）本，再利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程．【详解】∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，依题意得：1080故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程．5．若分式22−x和32x+1的值互为相反数，则x的值为（A．3 B．7 C．−4 D．−8【答案】D【分析】解分式方程22−x【详解】解：由题意得：2解得：x=−8经检验：x=−8是方程的解故选：D【点睛】本题考查了相反数的应用、分式方程的求解．根据题意列出分式方程是解题关键．6．已知x=2，是分式方程k3+x−3A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】把x=2代入分式方程，可得到关于k的一元一次方程，求解即可得到答案．【详解】把x=2代入分式方程，得k3解得k=6．故选：D．【点睛】本题主要考查分式方程和一元一次方程，根据题意得到一元一次方程是解题的关键．7．若解关于x的分式方程2x−mx−2=4时，出现了增根，则A．4 B．−4 C．2 D．−2【答案】A【分析】根据分式方程产生增根，确定增根为x=2，再代入所化的整式方程即可．【详解】解：关于x的分式方程2x−mx−2去分母，得2x−m=4x−8，由于分式方程出现增根x=2，所以4−m=8−8，解得m=4，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的意义是解决问题的关键．8．已知关于x的分式方程x−2x+2−mx甲同学的结果：m=0．乙同学的结果：m=−8．关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（

）A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确【答案】D【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，当分式方程无解时，求出的x的值无意义或为增根，由此可解．【详解】解：x−2x+2去分母，得x−22解得x=8∵关于x的分式方程x−2x+2∴x=8m+4无意义或使当x=8m+4无意义时，解得m=−4，当x=8m+4∴8m+4=2解得m=0或m=−8，综上可知，m=−4或m=0或m=−8，因此甲、乙同学的结果合在一起也不正确，故选：D．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件．9．已知关于x的分式方程ax+1−2a−x−1x2A．−12 B．1 C．12【答案】A【分析】若关于x的分式方程ax+1【详解】解：a方程两边乘x(x+1)，得ax−(2a−x−1)=0，整理可得(a+1)x=2a−1，当a+1=0，即a=−1时，整式方程无解，即分式方程无解；当a+1≠0时，有x=0或x=−1时，分式方程无解，此时x=2a−1a+1=0或x=2a−1a+1经检验均为该方程的解，综上所述，−1或0或12所以−1+0+1故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程无解问题，解题关键是要考虑到了最简公分母为零的情况，同时还要注意化为整式方程后，整式方程无解这一情况．10．若数a使关于x的不等式组−4x+23≤1−2x32x+3≤a有解但最多有三个整数解，且使关于y的分式方程2ay+1A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】先解不等式组可得−12≤x≤a−32，再结合题意可得整数a的值为：2，3，4，5，6【详解】解：−4x+23由①得：x≥−1由②得：x≤a−3∴−1∵数a使关于x的不等式组−4x+23∴−1解得：2≤a≤7，∴整数a的值为：2，3，4，5，6，7，∵2ay+1y+3∴2ay+1+7y+20=10y+30，整理得：2a−3y=9∵方程有整数解，∴当a=2时，则y=9，当a=3时，y=3，当a=6时，y=1，经检验符合题意；∴2+3+6=11；故选A【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的整数解问题，选择合适的方法解题是关键．二、填空题11．若68=12x，则【答案】16【分析】先将分式方程转化为整式方程，求出解后进行检验即可．【详解】解：若68=12解得x=12×8经检验x=16是原方程的解．故答案为：16．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是求出解后注意检验．12．关于x的方程x−ax−1=12的解是【答案】2【分析】把x=3代入分式方程构建新的方程，再解方程即可．【详解】解：∵关于x的方程x−ax−1=1∴3−a3−1=1解得：a=2，故答案为：2【点睛】本题考查的是分式方程的解，掌握方程的解的含义是解本题的关键．13．某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为．【答案】240【分析】设原计划每天生产x套零配件，根据“生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务”列出方程即可．【详解】解：设原计划每天生产x套零配件，根据题意可得，240x故答案为：240【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系正确列出方程是解题的关键．14．核酸检测是疫情防控的“监测网”，开展全员核酸检测是快速发现病毒感染者、有效切断传播途径、防止疫情扩散的最重要手段．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队小时多检测20人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%，则甲队每小时检测【答案】80【分析】设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测x−20人，根据：甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%【详解】解：设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测x−20人，根据题意可得：600x解得：x=80，经检验：x=80是方程的根，故答案为：80．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．15．若方程xx−5=x−ax−6有增根，则【答案】6【分析】将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，分母为0，求得x，即可求解．【详解】解：由xx−5=化简可得：a−1∵分式方程xx−5∴a−1≠0，x=5或x=6则a≠1，∴x=当x=5时，即5aa−1当x=6时，即5aa−1=6综上a=6故答案为：6【点睛】此题考查了根据分式方程的解，求解参数的值，解题的关键是理解分式方程增根的含义，正确的进行分类讨论求解．16．关于x的分式方程m2x−1+3=0的解为正数，则m的取值范围是【答案】m<3且m≠0【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，根据解为正数和分式有意义的条件，列出不等式求出解集即可．【详解】解：m2x−1去分母，得：m+6x−3=0，移项，得：6x=3−m，化系数为1，得：x=3−m∵方程解为正数，∴3−m6>0，解得：∵2x−1≠0，解得：x≠1∴3−m6≠1∴m的取值范围为m<3且m≠0．故答案为∶m<3且m≠0．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0．17．已知关于x的分式方程x+1x+2=2a−3a+5的解为x=0【答案】113/【分析】先把a当做一个已知数，解分式方程，当根据分式为0的条件，进行求解即可．【详解】解：x+1x+2x+1a+5ax+5x+a+5=2ax+4a−3x−6，−ax+8x=3a−11，x=3a−11∵x=0，∴3a−11=0，8−a≠0，解得：a=11故答案为：113【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式为0的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式为0的条件：分子等于0，分母不为0．18．若关于x的分式方程4x−ax−1−2a1−x=5的解是非负数解，且a满足不等式a−1≤1【答案】−8【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程4x−ax−1−2a1−x=5的解是非负数解，可得a+5≥0且a+5≠1，再根据a−1≤1【详解】解：去分母，得4x−a+2a=5x−1解得x=a+5，∵关于x的分式方程4x−ax−1∴a+5≥0且a+5≠1，解得a≥−5且a≠−4，∵a−1≤1，∴a≤2，∴a的取值范围是−5≤a≤2且a≠−4，∴满足条件的整数a的值有−5，∴−5−3−2−1+0+1+2=−8，故答案为：−8．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．三、解答题19．解分式方程：2x【答案】x=−2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2x去分母得：2+2x−x=0，解得：x=−2，经检验x=−2是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．解方程：3x+2【答案】x=3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同时乘以x+2x−2，得3解得：x=3，检验：当x=3时，x+2x−2∴x=3是原方程的根．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．21．阅读下列解题过程，回答所提出的问题：题目：解分式方程：3解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A得：3去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C解得：x=−2⋯⋯D所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：；(2)错误的原因是；(3)订正错误．【答案】(1)E(2)没有验根(3)订正错误：经检验x=−2使原分式方程分母等于0，所以x=−2是增根，原分式方程无解【分析】根据分式方程的解法步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可．【详解】（1）解：根据分式方程的解法步骤，判断出步骤E是错误的，故答案为：E；（2）解：根据分式方程的解法步骤，得步骤E错误的原因是没有验根，故答案为：没有验根；（3）解：订正错误：经检验x=−2使原分式方程分母等于0，所以x=−2是增根，∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是注意解出x的值后需要检验，防止出现增根．22．若分式方程3x−2=a【答案】a=2或3【分析】先解分式方程得出x=4−2a3−a，当3−a=0时，4−2a3−a无意义，求出当a=3时，原方程无解；根据当x=0或2时方程无解，得出4−2a3−a【详解】解：3x−2方程两边同乘xx−2，得3x=a解得x=4−2a∵当3−a=0时，4−2a∴当a=3时，原方程无解；∵当x=0或2时方程无解，∴4−2a3−a=0解得a=2；综上所述，a=2或3．【点睛】本题主要考查了分式方程的无解问题，解题的关键是熟练掌握分式方程无解的情况，注意进行分类讨论．23．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，我们每个人都应该及时接种疫苗．某制药厂接到疫苗紧急生产任务，下面是该厂生产能力信息：信息一：该厂原计划每天生产疫苗18万剂；信息二：目前有10名工人由于疫情不能及时回厂，已回厂的工人需要加班加点，每天工作由8小时增加到10小时；信息三：该厂实际每天生产疫苗20万剂，加班前后每名工人每小时完成的工作量不变．(1)求目前参加生产的工人有多少人？(2)若该厂2周内需要完成300万剂的生产任务，且生产4天后，未到岗的10名工人全部到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时，则该厂能否按时完成任务？【答案】(1)当前参加生产的工人有80人(2)该厂能完成任务，理由见解析【分析】（1）设目前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；（2）求出每人每小时完成的数量为：20÷10÷80=0.025（万剂），再计算所有工人2周完成的工作量，然后比较即可．【详解】（1）设目前参加生产的工人有x人，由题意可得：188x+10解得：x=80，经检验：x=80是原分式方程的解，且符合题意，答：当前参加生产的工人有80人；（2）每人每小时完成的数量为：20÷10÷80=0.025（万剂），20×4+∴该厂能完成任务．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．已知关于x的分式方程a2x+3(1)当a=1，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何整数时，分式方程a2x+3【答案】(1)x=−(2)5【分析】（1）将字母值代入，解分式方程，注意验根；（2）将字母值代入，求解含参方程，变形得(11−2b)x=3b−10，分情况讨论：①11−2b=0时，b=112，原方程无解；②11−2b≠0时，x=3b−1011−2b，由增根情况，得(2x+3)(x−5)=0时，即x=−32或【详解】（1）解：将a=1，b=1代入，得12x+3去分母，得(x−5)+(x−1)(2x+3)=(x−5)(2x+3)，解得，x=−7当x=−79∴x=−7（2）解：把a=1代入，得1去分母，得(4−2b)x−3b−5=−7x−15，(11−2b)x=3b−1011−2b=0时，b=112，3b−11=1111−2b≠0时，x=3b−10当(2x+3)(x−5)=0时，原方程无解，即x=−32或当3b−1011−2b=−3当3b−1011−2b=5综上，b为整数5时，原方程无解．【点睛】本题考查分式方程的求解，含参数方程的求解；理解增根的定义是解题的关键．25．某中学准备改造面积为1080m2的旧操场，现有甲、乙两个工程队都想承建这项工程．已知乙工程队单独改造整个操场与甲工程队单独改造整个操场的34(1)求甲乙两个工程队每天各改造操场多少平方米；(2)在改造操场的过程中，学校要委派一名管理人员进行质量监督，并由学校负担他每天25元的生活补助费，现有以下三种方案供选择．第一种方案：由甲单独改造；第二种方案：由乙单独改造；第三种方案：由甲、乙一起同时进行改造．你认为哪一种方案既省时又省钱？试比较说明．【答案】(1)甲工程队每天改造操场30平方米，乙工程队每天改造操场40平方米．(2)第三种方案省钱【分析】（1）设甲工程队每天改造操场xm2，则乙工程队每天改造操场x+10m2（2）分别计算每种方案的费用，比较即可得到答案．【详解】（1）解：设甲工程队每天改造操场xm2，则乙工程队每天改造操场x+101080×3解得：x=30，经检验x=30是原方程的解，且符合题意，x+10=40答：甲工程队每天改造操场30