中考数学数学平行四边形试题含答案

中考数学数学平行四边形试题含答案

一、选择题

1.如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD,中间小正方形的

各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为纥巨（。、b为正

b

整数），则a+6的值为（）

A.10B.11C.12D.13

2.如图，正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，连接AE交BD于F,过F作

FH1.AE于F,过H作HG_LBD于G.则下列结论：①AF=FH；②NHAE=45。；③BD=

2FG；④△CEH的周长为8.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图所示，正方形ABCO中，E为BC边上一点，连接4E，作4E的垂直平分线交

AS于G,交CD于F,若DF=2,BG=4,则AE的长为（）

4.如图，在平行四边形ABC。中，E、F是对角线AC上的两点且AE=b,下列说

法中正确的是（）

①BE=DF；②BE//DF；③AB=DE；④四边形E3ED为平行四边形；

⑤SgDE=SMBE；⑥Ab—CE.

B

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

5.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分/BAD,交BC于点E且AB=AE,延长AB与DE

的延长线相交于点F,连接AC、CF.下列结论：①AABC丝4EAD；②4ABE是等边三角

形；③BF=AD；@SABEF—SAABC;⑤SACEF=S.、ABE;其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC,CF_LBE交AB于

点F,P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分NCBF；②CF平分NDCB；③BC=FB；

®PF=PC.其中正确结论的个数为（）

DE

7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，CE平分ZDCB交BD于点F,

且NABC=60°,AB=2BC,连接OE,下列结论：①NACD=30°；

②SYABCD=ACBC；③OE：AC=1:4・其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将4ADE沿AE折叠得到aAFE,且点F

AD

在长方形ABCD内，将AF延长交边BC于点G,若BG=3CG,则——=（）

A.-B.1C.好D.—

422

9.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,PFJ_AC于

F,M为EF中点，则AM的最小值为（）

10.如图，在菱形ABC。中，AB=5cm,ZM>C=120。，点E、尸同时由A、C两点

出发，分别沿AB、CB方向向点5匀速移动（到点8为止），点E的速度为lan/s,点

产的速度为2cm/s,经过f秒△£>七万为等边三角形，则f的值为（）

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=2下，则平行四边形ABCD

的周长等于.

12.如图，NMAN=90。，点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接

BC,AA-BC与AABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延

长交AB所在直线于点F,连接AE当^NEF为直角三角形时，AB的长为.

13.在平行四边形ABCD中，44=30。,4。=2百,8。=2,则平行四边形ABCD的面积

等于.

14.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，对角线长为1cm,过点。任作一条直线分

别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是.

15.已知：点B是线段AC上一点，分别以AB,BC为边在AC的同侧作等边△ABD和等

边BCE,点M,N分别是AD,CE的中点，连接MN.若AC=6,设BC=2,则线段MN的

长是.

16.如图，正方形ABCD中，ZDAC的平分线交DC于点E,若P,Q分别是AD和AE上

的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为.

17.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E在线段

AB±,连接EF、CF,则下列结论：⑴NDCF+JND=90°；(2)NAEF+NECF=90°；

⑶SBEC=2ScEF；⑷若NB=80。，则/AEF=50。.其中一定成立的是（把所有正确结

论的字号都填在横线上）.

18.如图，RtAABE中,/8=90°,45=85，将&$£绕点4逆时针旋转45°，得到

过。作OC_L8£交防的延长线于点C,连接8"并延长交OC于点F，连接

DE交BF于点0.下列结论：①DE平分NHDC；②DO=OE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE；⑤”是8尸的中点，其中正确的是

19.已知：如图，在ABC中，ADVBC,垂足为点。，BELAC，垂足为点E,

M为A3边的中点，连结ME、MD、ED，设43=4,〃4C=30。则

EM=；EDM的面积为，

20.如图，长方形ABC。中，AO=26,A6=12，点。是BC的中点，点P在AD边

上运动，当V8PQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为，

三、解答题

21.如图，在矩形A8C。中，点E是AD上的一点（不与点A，。重合），AABE沿

折叠，得8石尸，点A的对称点为点尸.

（1）当A6=AD时，点尸会落在CE上吗？请说明理由.

AD

（2）设一=加（0（根<1）,且点口恰好落在CE上.

AD

①求证：CF=DE.

AP

②若一=〃，用等式表示加，〃的关系.

AD

22.如图，在菱形ABCD中，AB=2cm,NADC=120。.动点E、F分别从点B、D同时出

发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE,分别取AF、CE的中点G、H.设

运动的时间为ts（0<t<4）.

（1）求证：AFIICE；

/7

（2）当t为何值时，△ADF的面积为'二cm?；

2

23.已知，在△ABC中，N8AC=90°,/ABC=45°,。为直线BC上一动点（不与点8,C

重合），以AD为边作正方形ADEF,连接CF.

段之间的数量关系为;

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关

系8C,CD,CF三条线段之间的数量关系并证明；

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，点A,F分别在直线8c的两侧，其他

13

条件不变.若正方形ADEF的对角线AE,DF相交于点O,0C=—,DB=5,则△A8C的面积

2

为.(直接写出答案)

24.已知正方形ABCD.

(1)点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，ZAPB=45°.

①如图(1),若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形.

②如图(2),若点P在直线AD和BC之间，以AP,AD为邻边作。APQZ),连结AQ.求

ZPAQ的度数.

(2)如图(3),点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过

Ap1

点E作EHJ_AD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当。=彳时.请直接写出HC的长

Cr3

25.如图平行四边形A8CD,E,F分别是AD,BC上的点，且AE=CF,EF与AC交于点。.

(1)如图①.求证：0E=0F-,

(2)如图②，将平行四边形ABCD(纸片沿直线EF折叠，点A落在4处，点B落在点81

处，设FB交CD于点G.4B分别交CD,0E于点H,P.请在折叠后的图形中找一条线

段，使它与EP相等，并加以证明；

CF

(3)如图③，若AAB。是等边三角形，A8=4,点F在8c边上，且BF=4.则——=

0F

(直接填结果).

图①

26.如图.正方形ABCD的边长为4,点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射

线AD运动，运动时间为t秒(t>0),以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形

AEFG,连接BF.

(1)当t=l时，求BF的长度；

(2)在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；

(3)连接AF、DF,当aADF是等腰三角形时，求t的值.

27.类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边

形”.

(1)已知：如图1,在“准等边四边形”A8CD中，BC#AB,BD±CD,AB=3,BD=4,求BC

的长；

(2)在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请

你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；

(3)如图2,在△A8c中，AB=AC=应,ZB4C=90°.在A8的垂直平分线上是否存在点

P,使得以A，B,C,P为顶点的四边形为“准等边四边形”.若存在，请求出该“准等边

四边形”的面积；若不存在，请说明理由.

D

A

28.探究：如图①，aABC是等边三角形，在边A8、8c的延长线上截取8/W=CM连结

MC、AN,延长MC交AN于点P.

（1）求证：△ACNgACBM；

（2）NCPN=。；（给出求解过程）

（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE,如图②、③，在边

AB.BC的延长线上截取B/W=CN,连结MC、DN,延长MC交。N于点P,则图②中

ZCPN=。；（直接写出答案）

（4）图③中/CPN=。；（直接写出答案）

（5）拓展：若将图①的△ABC改为正"边形，其它条件不变，则/CPN=。（用含"

的代数式表示，直接写出答案）.

图①图②图③

29.如图，在四边形。钻C是边长为4的正方形点P为。4边上任意一点（与点0、A不

重合），连接CP,过点P作尸M_LCP,且PM=CP,过点M作交80

于点N,联结80、CN,设0P=x.

（1）当x=l时，点〃的坐标为（,）

（2）设S四边形内皿二丁，求出）'与X的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围―

（3）在x轴正半轴上存在点Q,使得QMN是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合

条件的点Q的坐标（用x的式子表示）

30.如图，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,点E在边AB上，点F是边BC上不与点

B、C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，点B落在点e处.

⑴若AE=O时，且点&恰好落在AD边上，请直接写出DB，的长；

（II）若AE=3时，且ACDB,是以DB，为腰的等腰三角形，试求DB，的长；

（川）若AE=8时，且点B，落在矩形内部（不含边长），试直接写出DB，的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

通过小正方形的边长表示出大正方形的边长，再利用a、b为正整数的条件分析求解.

【详解】

解：由题意可知，4。=2*竺巫+正X纥，1=1

b2b

(4a-2)-(4-a)V2=2/?

：a、b都是正整数

4—<7=0,4a-2=2b

a=4,b=7

a+b=l1

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质以及有理数、无理数的性质，表示出大正方形的边长利用有理

数、无理数的性质求出a、b是关键.

2.D

解析：D

【分析】

①作辅助线，延长HF交AD于点L,连接CF,通过证明ZkADF也Z\CDF,可得：AF=CF,故

需证明FC=FH,可证：AF=FH；

②由FH±AE,AF=FH,可得：NHAE=45°；

③作辅助线，连接AC交BD于点0,证BD=2FG,只需证OA=GF即可，根据

△AOF^AFGH,可证OA=GF,故可证BD=2FG；

④作辅助线，延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI〃HL,则IL=HC,可证AL=HE,再

根据AMEC丝△MIC,可证：CE=IM,故ACEH的周长为边AM的长.

【详解】

VBD为正方形ABCD的对角线,

/ADB=NCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

.".△ADF^ACDF.

，FC=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

；.NLHC+NDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

，/FHC=NFCH,

AFH=FC.

；.FH=AF.

②：FHJ_AE,FH=AF,

AZHAE=45".

③连接AC交BD于点。，可知：BD=20A,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

/AFO=/GHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

.".△AOF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=2OA,

ABD=2FG.

④连接EM,延长AD至点M,使AD=DM,过点C作a〃HL,则：LI=HC,

VHL1AE,CI〃HL,

AAEICI,

AZDIC+ZEAD=90°,

ZEAD+ZAED=90",

.,.ZDIC=ZAED,

VED±AM,AD=DM,

EA=EM,

NAED=NMED,

AZDIC=ZDEM,

.\ZCIM=ZCEM,

VCM=MC,ZECM=ZCMI=45°,

/.△MEC^ACIM,可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

.•.△CEH的周长为8,为定值.

故①②③④结论都正确.

故选D.

【点睛】

解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等.

3.B

解析：B

【分析】

如图，连接GE,作GH_LCD于H.则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x,则FH=x-2.首先

证明AABEgZXGHF,推出BE=FH=x-2,在RMBGE中，根据GE2=BG2+BE2,构建方程求出X

即可解决问题.

【详解】

如图，连接GE,作GHJ_CD于H.则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x,则FH=x-2.

：GF垂直平分AE,四边形ABCD是正方形，

ZABE=ZGHF=90°AB=AD=GH,AG=GE=X,

•.,ZBAE+ZAGF=90",NAGF+NFGH=90°,

AZBAE=ZFGH,

.".△ABE^AGHF,

•\BE=FH=x-2,

在RtABGE中，VGE2=BG2+BE2,

.*.x2=42+(x-2)2,

，x=5,

；.AB=9,BE=3,

在RtAABE中,AE=S]AB2+BE2=792+32=3M，

故选:B.

【点睛】

此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造全等三角形解决问题.

4.D

解析：D

【分析】

先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF,得出四边形

BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF,即可判断⑥.

【详解】

①；四边形ABCD是平行四边形，

.IAB〃DC,AB=DC,

，ZBAC=ZADC,

在aABE和ADFC中

AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

.".△ABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正确.

②•:△ABE之△DFC,

ZAEB=ZDFC,

ZBEF=ZDFE,

.".BEZ/DF,

故②正确.

③根据已知的条件不能推AB=DE,故③错误.

④连接BD交AC于0,过D作DM_LAC于M,过B作BN_LAC于N,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.".D0=B0,0A=0C,

VAE=CF,

；.0E=0F,

四边形BEDF是平行四边形，

故④正确.

(§)VBN±AC,DM±AC,

AZBN0=ZDM0=90°,

在△BNO和△DMO中

ZBN0=ZDM0

■ZB0N=ZD0M

OB=OD

.,.△BNO也△DMO(AAS)

.♦.BN=DM

-xAExDM,S=—xAExBN

△ADE2AAABRE2

•s=s

••0AADE°AABE，

故⑤正确.

@VAE=CF,

，AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正确.

故答案是D.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是

解题的关键.

5.B

解析：B

【分析】

根据平行四边形的性质可得AD〃BC,AD=BC,根据平行线的性质可得NBEA=/EAD,根据

等腰三角形的性质可得/ABE=NBEA,即可证明/EAD=NABE,利用SAS可证明

△ABC^AEAD；可得①正确；由角平分线的定义可得NBAE=NEAD,即可证明

ZABE=ZBEA=ZBAE,可得AB=BE=AE,得出②正确；由SAAEC=SADEC,SAABE=SACEF得出

⑤正确；题中③和④不正确.综上即可得答案.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

.".ZBEA=ZEAD,

VAB=AE,

AZABE=ZBEA,

NEAD=NABE,

AB=AE

在AABC和AEAD中，<ZABE=ZEAD,

BC=AD

.".△ABC^AEAD（SAS）;故①正确；

VAE平分NBAD,

/BAE=NDAE,

AZABE=ZBEA=ZBAE,

/BAE=NBEA,

；.AB=BE=AE,

.••△ABE是等边三角形；②正确；

AZABE=ZEAD=60",

VAFCD与4ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

•'•SAFCD-SAABC>

VAAEC与4DEC同底等高，

SAAEC=SADEC,

SAABE—SACEF;⑤正确.

若AD=BF,则BF=BC,题中未限定这一条件，

.•.③不一定正确；

如图，过点E作EH_LAB于H,过点A作AG_LBC于G,

VAABE是等边三角形，

；.AG=EH,

若SABEF=SAABC,则BF=BC,题中未限定这一条件,

.•.④不一定正确；

综上所述：正确的有①②⑤.

故选：B.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练

掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键.

6.D

解析:D

【分析】

分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答

案.

【详解】

证明：如图：

：BC=EC,

二/CEB=/CBE,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

；.DC〃AB,

AZCEB=ZEBF,

AZCBE=ZEBF,

...①BE平分NCBF,正确；

：BC=EC,CF1BE,

；.NECF=NBCF,

...②CF平分NDCB,正确；

；DC〃AB,

NDCF=NCFB,

：/ECF=NBCF,

；./CFB=/BCF,

；.BF=BC,

...③正确；

VFB=BC,CF±BE,

AB点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC,

；.PF=PC,故④正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知

识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键.

7.C

解析：C

【分析】

由四边形ABCD是平行四边形，得至［|NABC=NADC=60°,ZBAD=120°,根据角平分

线的定义得到NDCE=NBCE=60°推出4CBE是等边三角形，证得NACB=90°,求出

NACD=NCAB=30°,故①正确；由ACLBC,得到S°ABCD=AC・BC,故②正确，根据直

角三角形的性质得到AC=6BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=，BC,于是得

2

至iJOE：AC=73：6；故③错误；

【详解】

解：•••四边形ABCD是平行四边形，

:.ZABC=ZADC=(^°,/BCD=120。

■:CE平分/BCD交AB于点、E,

：.ADCE=ZBCE=(^,

△CBE是等边三角形，

BE-BC-CE.

•/AB=2BC,

AE=BE=CE,

，ZACB=90°,

ZAC£>=NC4B=30°,故①正确；

ACVBC,

：.SABCD=AC-BC,故②正确；

在Rtz^ACB中，ZACB=90°,NC4B=30°,

AC=MBC.

40=0C,AE=BE，

AOE=-BC,

2

；.OE：AC=LBC：CBC=6：6,故③错误.

2

故选：C.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质.注意

证得aBCE是等边三角形，0E是aABC的中位线是关键.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据中点定义得出DE=CE,再根据折叠的性质得出DE=EF,AF=AD,NAFE=/D=90。，从而

得出CE=EF,连接EG,利用"HL"证明4ECG丝AEFG,根据全等三角形性质得出CG=FG,设

CG=",则BC=4”,根据长方形性质得出AD=BC=4",再求出AF=4”,最后求出

AG=AF+FG=5",最后利用勾股定理求出AB,从而进一步得出答案即可.

【详解】

C

G

如图，连接EG,

•.•点E是CD中点，

；.DE=EC,

根据折叠性质可得：AD=AF,DE=EF,ND=NAFE=90°,

；.CE=EF,

在RtAECG与RtAEFG中，

VEG=EG,EC=EF,

ARtAECG^RtAEFG(HL),

；.CG=FG,

设CG=a,

BG=3CG=3a,

：.BC=4a,

AF=AD=BC=4a.

；.AG=5a.

在RtAABG中，

•>-AB=\lAG2-BG2=4a，

丝=1,

AB

故选B.

【点睛】

本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概

念是解题关键，

9.C

解析：C

【分析】

首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=；AP,最后利用垂线段最短确定AP的位置，利

用面积相等求出AP的长，即可得AM.

【详解】

在AABC中,因为AB2+AC2=BC2,

所以AABC为直角三角形，ZA=90°,

又因为PEJ_AB,PF±AC,

故四边形AEPF为矩形，

因为M为EF中点，

所以M也是AP中点，即AM=^AP,

2

故当AP_LBC时，AP有最小值，此时AM最小，

1112

由S=-XABXAC=—XBCXAP，可得AP=—，

ABC225

16..

AM=—AP=-=1.2

25

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP1BC时AM最小是解题关键.

10.D

解析：D

【分析】

连接BD,证出4ADE会△BDF,得到AE=BF,再利用AE=t,CF=2t,则BF=BLCF=512t求

出时间t的值.

【详解】

解：连接BD,

D

•.,四边形ABC。是菱形，NADC=120°,

：.AB=AD,ZADB=-ZADC=60a,

2

：./\ABD是等边三角形，

：.AD=BD,

又「△DEF是等边三角形，

：.NEDF=NDEF=60°,

又,.,NADB=60°,

，NADE=NBDF,

'AD=BD

在aADE和△BDF中，＜NA=Z-DBC

ZADE=NBDF

：./\ADE^/\BDF(ASA),

：.AE=BF,

'：AE=t,CF=2t,

：.BF^BC-CF^5-2t,

r.t=5-2t

•.•I/-，

3

故选：D.

【点睛】

本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等

边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键.

二、填空题

11.12或20

【分析】

根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出

即可.

【详解】

解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

图1

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=275.

在R3ACE中，由勾股定理可知：CE7AC?-的=J(26)2_42=2，

在R3ABE中，由勾股定理可知：BE=JAB?-AE?=后-4?=3,

；.BC=BE+CE=3+2=5,

此时平行四边形ABCD的周长等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20：

情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4,AB=5,AC=2逐

在RtAACE中，由勾股定理可知：CE=VAC2-AE2=7(275)2-42=2，

在ABE中，由勾股定理可知：BE=JAB?-AE?=后-42=3,

；.BC=BE-CE=3-2=1,

平行四边形ABCD的周长为2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20.

故答案为：12或20.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部

讨论是解题关键.

12.4百或4

【解析】

分析：当AA，EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当NA，EF=90。时，如图1,根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4,根据直角三角形斜

边中线的性质得：BC=2A，B=8,最后利用勾股定理可得AB的长；

②当NA'FE=90°时，如图2,证明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

详解：当AZEF为直角三角形时，存在两种情况：

①当NA'EF=90°时，如图1,

AA-BC与AABC关于BC所在直线对称,

，A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

•.•点D,E分别为AC,BC的中点，

；.D、E是AABC的中位线，

；.DE〃AB,

NCDE=NMAN=90",

ZCDE=ZA'EF,

...AC〃A'E,

ZACB=ZA'EC,

AZA'CB=ZA'EC,

.,.A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，是斜边BC的中点，

，BC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

.­.AB=T87^47=4>/3；

ZADF=ZA=ZDFB=90°,

/ABF=90°,

AA-BC与AABC关于BC所在直线对称,

.,.ZABC=ZCBA'=45'',

...△ABC是等腰直角三角形，

；.AB=AC=4；.

综上所述，AB的长为或4；

故答案为4月或4.

点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判

定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

13.4G或20

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作。于E,

在Rt/XADE中,ZA=30°,AD=2。

R

:.DE=-AD=y/3,AE=—AD=3,

22

在Rt△BOE中,BD=2,

BE=BUr-DE?=&-（我2=i,

；.AB=4，

二平行四边形ABCD的面积=A8DE=4x6=46，

如图2,

AB=2,

•••平行四边形ABCD的面积=ABDE=2X6=26

图3

在RtZXABE中，设AE=x,则OE=2百-x，

ZA=30°,BE-尤，

3

在RtZXBDE中，BD=2,

：.22=(^yX)2+(2^-X)2,

X——y[?>>X-2V3(不合题意舍去)，

；.BE=1,

,平行四边形ABCD的面积=A。BE=lx2石=26,

当A£>_LB£>时，平行四边形ABC。的面积=A£>8。=4>行，

故答案为：4石或2百.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12

14.-cm"

8

【分析】

根据正方形的性质可以证明△AEOZCF。，就可以得出SAAEO=SACF。，就可以求出AAOD面积

等于正方形面积的,，根据正方形的面积就可以求出结论.

【详解】

解：如图:

•.•正方形ABCD的对角线相交于点。，

AAAEO与ACFO关于0点成中心对称,

/.△AEO^CFO,

•••对角线长为1cm,

**«S正方形ABCD=—xlx1=—cm2,

22

2

.*.SAOD=—cm,

A8

.•・阴影部分的面积为[cm?.

故答案为：-cm2.

8

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形

的面积公式的运用，在解答时证明△AEO&CF。是关键.

15.721

【分析】

如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得

ME//AB,ME=AB=4,再根据平行线的性质可得NFEM=NC=60°,然后利用直角

三角形的性质、勾股定理可得EF=2,A/R=26,从而可得/W=3,最后在RrFMN

中，利用勾股定理即可得.

【详解】

如图，连接ME,过点M作MELCE,交CE延长线于点F,

和3CE都是等边三角形，BC=2,

:.ZA=ZCBE=^C=6Q°,BE=CE=BC=2,AD=AB,

：.AD//BE,

4C=6,

AD=AB=6—2=4,

点M,N分别是AD,CE的中点，

.-.AM=-AD=2,EN=-CE=1,

22

:.AM=BE,

二四边形ABEM是平行四边形，

:.ME〃AB,ME=AB=4,

NF£M=NC=60。，

在Rt/XEFM中，NEMF=90°-60°=30°,

：.EF=-ME=2,MF=y/ME2-EF2=26,

2

:.FN=EN+EF=1+2=3,

则在HFMN中,MN=[FM+MF?=《3。+（2后=后，

故答案为：V21.

D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质

等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键.

16.472

【分析】

作P点关于线段AE的对称点尸，，根据轴对称将OQ+PQ转换成0P',然后当

OP_LAC的时候OP是最小的，得到。P'长，最后求出正方形边长DC.

【详解】

•；AE是ND4c的角平分线，

•••P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为P'

由轴对称可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如图，当。P'_LAC的时候。P是最小的，也就是。Q+PQ取最小值4,

£>P=4,

由正方形的性质P'是AC的中点，且£)P'=P'C,

在向Z5CP中，DC=dDp2+PC2=代+甲=后=4日

故答案是：472•

APD

【点睛】

本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出QQ+PQ取最小值的状态，

并将它转换成DP'去求解.

17.⑴⑵⑷

【分析】

由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出⑴正确；

由ASA证明△AEF@Z\DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜边上的中线性质得

出CF=1EM=EF,由等腰三角形的性质得出/FEC=/ECF,得出(2)正确;

2

证出SAEFC=SACFM,由MOBE,得出SABEC<2SAEFCI得出⑶错误；

由平行线的性质和互余两角的关系得出⑷正确；即可得出结论.

【详解】

(1)；F是AD的中点,

；.AF=FD,

:在。ABCD中，AD=2AB,

；.AF=FD=CD=AB,

.\ZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,

ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

AZDCF=ZBCF,

1

，/DCF=-ZBCD,

2

.".ZDCF+-ZD=90°,故(1)正确；

2

•.•四边形ABCD是平行四边形,

；.AB〃CD,

NA=NMDF,

；F为AD中点，

AAF=FD,

在4AEF和△DMF中，

-ZA=ZFDM

<AF=DF,

ZAFE=ZDFM

.,.△AEF^ADMF(ASA),

，EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

.\CF=-EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90",故⑵正确；

(3)VEF=FM,

SAEFC=S&CFM,

VMC>BE,

*L•SABEC<2SAEFC,故⑶错误；

(4)VZB=80",

.".ZBCE=90o-800=10,,,

：AB〃CD,

AZBCD=1800-80o=100°,

1

.♦.NBCF=-NBCD=50°,

2

，/FEC=NECF=50°-10°=40°,

AZAEF=90°-40°=50°,故⑷正确.

故答案为：⑴⑵⑷.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性

质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明

△AEF会△DMF是解题关键.

18.①②④⑤

【分析】

根据NB=90。，AB=BE,aABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得△ABEWZiAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=/CDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形,有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分/HDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证/OHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确；

利用AAS证明ADHE三ADCE,贝I」有DH=DC,NHDE=NCDE=22.5°,易的/DHF=22.5°,

NDFH=112.5。，则ADHF不是直角三角形，并DHwHF,即有：CDxHF,所以③错误；

根据4ABE是等腰直角三角形，JHLJE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HUBC于J,并延长HJ交AD于点I,得IUAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

•；RtAABE中，NB=90°,AB=BE,

AZBAE=ZBEA=45°,

又•将AABE绕点A逆时针旋转45°,得到AAHD,

.,.△ABE=AAHD,并且AABE和ZkAHD都是等腰直角三角形，

NEAD=45",AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

；.AD〃BC,

/.ZADE=ZDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

NDCE=NDHE=90°

由三角形的内角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四边形ABCD是矩形，

AZADC=90°,

；./HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

AZHDO=—ZHDC=-X45°=22.5Q,

22

：/BAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=g(180--ZBAE)=g乂(180。-45。)=67.5。，

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.50=22.5°,

/.OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，ZAED=1(180°-ZEAD)=；x(180o-45°)=67.5°,

AZOHE=ZHEO=67.5°,

.*.OE=OH,

，OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=NDCE

,NHDE=ZCDE,

DE=DE

.\ADHE=ADCE(AAS),

；.DH=DC,NHDE=NCDE」X45°=22.5",

2

VOD=OH,

；.NDHF=22.5°,

AZDFH=1800-ZHDF-ZDHF=1800-45<>-22.50=112.50,

.♦.△DHF不是直角三角形，并DHJHF,

即有：CDHHF,所以③不正确：

如图，过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,

•••△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中点，H是BF的中点，

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

，2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中点，

•.•四边形ABCD是矩形,HJ1BC,

.♦.J是BC的中点，

，H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

19.2百

【分析】

根据EM是用ZX/LBE斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可

求出EM的长；根据已知条件推导出OWE是等边三角形，且边长为2,进一步计算即

可得解.

【详解】

解：VAD1BC,〃为A3边的中点，A」B=4

...在RtAABO中，===2

22

同理，在HrAABE中，EMAM=-AB=-x4^2

22

：.ZMDA=ZMAD，ZMEA=ZMAE

,/ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=AMDA+ZMAD=2ZMAD

：.ZDME=ZBME-ZBMD

^2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2Ztt4c

=60°

DM=EM

OME是等边三角形，且边长为2

X

SEDM=-2X>/3=\/3

故答案是：2；

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提.

20.6.5或8或18

【分析】

根据题意分8P=Q/\BQ=QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可.

【详解】

解：,•・四边形ABCO是矩形，AO=26,点。是3C的中点

BQ=13

①当5P=QP时，过点P作PMLB。交5Q于点M,如图，

则BM=MQ=6.5，且四边形ABMP为矩形

/.AP=BM=6.5

②当6Q=QP时，以点。为圆心，8Q为半径作圆，与AO交于尸'、尸两点，如图,

过。作QN_LP〃，交p产于点N，则可知PN=P"N

•.•在放P'NQ,尸'。=13,NQ=AB=\2

•••P'N=yjp'Q2-NQ2=V132-122=5

同理，在心P"NQ中,产N=5

AD—P'N—P"N26-5-5

...L/vf=川''=8,AP"^AP'+PN+=8+5+5=18