185正方形的性质与判定（原卷版）

八年级下册数学《第十八章平行四边形》18.5正方形的性质与判定知识点一知识点一正方形的定义●●定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.◆1、正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；◆2、正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形.知识点二知识点二正方形的性质◆1、具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；④正方形式轴对称图形，有四条对称轴；◆2、正方形的面积计算①边长的平方；②对角线平方的一半；◆3、正方形特有的性质：①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；②周长相等四边形中，正方形的面积最大.知识点三知识点三正方形的判定◆1、正方形判定方法：定义法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.四边形法有四条边相等，三个角都是直角的四边形是正方形.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.平行四边形法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.矩形法有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线相互垂直的矩形是正方形.菱形法有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.◆2、平行四边形、矩形、菱形、正方形间转化关系和包含关系题型题型一利用正方形的性质求角度【例题1】（2022秋•竞秀区期中）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BEA为（）A．15° B．30° C．45° D．55°解题技巧提炼正方形中求角度的问题要善于抓住正方形中的特殊角度90°、45°以及四边相等的性质.【变式11】（2022秋•市期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（）A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5°【变式12】（2022秋•新城区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【变式13】（2022秋•保定期末）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB等于（）A．60° B．70° C．75° D．80°【变式14】（2022秋•太原期中）如图，点E．F分别是正方形ABCD内部、外部一点，四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，则∠CBE的度数等于．【变式15】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝15°，则∠EDF的度数为（）A．22.5° B．25° C．30° D．35°【变式16】（2023•渝中区校级开学）如图，E、F、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD上的点，连接DF，HE，且HE＝DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠BEH＝52°，则∠AGD的度数为（）A．26° B．38° C．52° D．64°题型二题型二利用正方形的性质求线段长【例题2】（2022春•如皋市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为（）A．2-1 B．12 C．22-2 解题技巧提炼由于正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以对于正方形的对角线及边这两个元素中知道其中一个的长度，都能根据勾股定理求出另一个.在计算中要利用等腰直角三角形的相关知识.【变式21】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为．【变式22】（2022秋•九龙坡区期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF=3，则EFA．23 B．2+3 C．3+1 【变式23】（2022秋•青田县期末）如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连结GH，则线段GH的长为（）A．538 B．22 C．145【变式24】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为7，点E是AB上的一点，且AE＝3，将正方形沿DE翻折，点A落在点G处，延长EG交BC于点F，则CF的长是．【变式25】（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（）A．2 B．4 C．125 D．题型三题型三利用正方形的性质求周长或面积【例题3】（2022秋•汉台区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，则四边形EFGH的面积是（）A．34 B．36 C．40 D．100解题技巧提炼正方形的周长：边长×4.正方形的面积：（1）边长的平方；（2）对角线乘积的一半；【变式31】（2022秋•永安市期中）正方形的周长为8cm，则它的面积为（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【变式32】（2022•礼县校级模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式33】（2022春•南岗区校级月考）正方形一条对角线长为22，则周长为（）A．4 B．42 C．8 D．82【变式34】（2022秋•路北区校级期末）如图，小明同学将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是．【变式35】（2022•珠海校级三模）如图，E是正方形ABCD内一点，AE⊥DE于E，AE＝2cm，则△ABE的面积是（）A．5 B．4 C．3 D．2题型四题型四利用正方形的性质进行证明【例题4】（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．解题技巧提炼通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证明边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件.【变式41】（2022秋•永丰县校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，且不与点A，D重合，点H在边AB上，且不与点A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．若BP＝CH，求证：BP⊥CH．【变式42】（2022秋•双牌县期末）如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接CE，AG．求证：CE＝AG．【变式43】（2022秋•安丘市校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，G是CD边上一点，连接BG交AC于E，过点A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF．（2）若H是BG的中点，BG平分∠DBC，求证：DG＝2OE．【变式44】（2022春•顺义区校级月考）如图，在正方形ABCD中，Q为对角线BD上一点（DQ＞BQ），连接AQ、CQ．（1）求证：AQ＝CQ；（2）过点Q作QR⊥BD交BC于点R，延长CB至点H使BH＝CR，连接AH．①依题意补全图形；②用等式表示AH与CQ之间的数量关系，并证明．【变式45】（2022•珠海校级三模）如图，E是正方形ABCD的BC边上一点（E不与B、C重合），EG⊥AC于G，F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AE、DF和DG．（1）若连接GF，求证：DG＝GF；（2）若∠BAE＝30°，求∠AGD的度数．题型五题型五正方形判定的条件【例题5】（2022秋•武侯区期末）下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形解题技巧提炼正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．【变式51】（2022秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【变式52】（2022春•庄浪县期中）如图，下列三组条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（）①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式53】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式54】（2022秋•东明县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式55】（2022•黑龙江一模）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为正方形．【变式56】（2022秋•郏县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．题型六题型六正方形的判定的证明【例题6】（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．解题技巧提炼判定一个四边形是正方形时，往往先判定它是矩形（或菱形），再补充一个想对应的一个或两个其它有关边、角、对角线的条件，即可证明.【变式61】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【变式62】（2021秋•泾阳县期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．【变式63】（2022秋•中宁县期中）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．（1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论；（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形．【变式64】（2022春•唐河县期末）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC的平分线相交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，则CE的长为．【变式65】（2022春•隆安县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F．（1）求证：BC＝BE；（2）连接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证：四边形ABCD是正方形．题型七题型七正方形的性质与判定的综合应用【例题7】（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半解题技巧提炼正方形的判定可以确定正方形的存在，再利用正方的性质，可以得出线段或角的对应关系从而解决问题.【变式71】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【变式72】（2022秋•胶州市校级月考）如图所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．【变式73】（2022秋•砀山县校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝32，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．【变式74】（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．【变式75】（2022春•杭州期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF．（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP