电路原理邱关源习题答案相量法

第八章相量法

求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相量

法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳

态响应的数学运算.

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示,RLC元件用阻抗或导纳表示，画出

电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相

量的代数方程加以求解,因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表

示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复

数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.

8-1将以下复数化为极坐标形式：

（1）々=-5-/；（2）尸2=工+乃；⑶B=2。+产；

⑷。⑸石="；⑹&=2.78+J9.20

解：（1）F>=5-7=aN°

"V5）2+（-5）2=5<2

0=arctan----二~135o

-5（因1在第三象限）

故：的极坐标形式为q=5、：2/135。

（2）F=-4+J3="-4）2+31/arctan（3,--4）=5/143.13.（尸在第一

、少224人一

象限）

（3）Fa=20+;40=J2（h+402/irctan（40/20）=44.72/63.43.

⑷氏二10J=10/90o

（5）区=-3=3/180.

（6）/6=2.78+/9.20=32.782+9.2（）2Arctan（9.20/2.78）=9.61/73.19.

注：一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即

"二〃J3二/二的。，它们相互转换的关系为：

a

,-----0=arctan一

a-Ja2+(22a

■I21

和a-acosOa=asinQ

需要指出的,在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到.的取值

及实部一和虚部」的正负.

8-2将以下复数化为代数形式：

(04=102—73.；(2)月=15/112.6.；QF=1.2Z152o;

(4)4=10/-90.;(5).=5/—180.;⑹勺=10/735..

解：(1)=10Z-73o=10Xcos(-73o)+jlOxsin(-73o)=2.92-

j9.56

(2)F=15Z112.60=15cos112.60+15sin112.60=-5.76+)3.85

(3)F=1.2Z152o=1.2cosl52o+1.2sinl52o=-1.06+JO.56

QF=10Z-90o=-jlO

(5)F=5/-180.=-5

(6)勺=10/—135.=10cos(-135o)+10sin(-135o)=-7.07-j-7.07

8—3假设10°/0.+AN600二175Nep.求人和平.

解；原式二L.+Acos60.+jasin60o=175cos(p+j-175sin(p根据复数相

等的定义,应有实部和实部相等,即

Acos60o+100=175cos(p

虚部和虚部相等Asin60.175sin①

把以上两式相加,得等式

A2+100A-20625=0

,-100±71002+4x20625[102.07

2[-202.069

解得

,Asin60

sin申二一

102.07x—

175

-----------2,:0.505

所以175

Q>30.34.

8-4求8-1题中的F2•用和E+

解：#x=(-4+力)x(2.78+j9,20)=5/143.13.*9.61/73.19.

=48.05/216.32.=48.05/-143.68.

-4+产-5/143.13.

=0.52/69.94.

2=2.78+J9.20—9.61/73.19.

8-5求8-2题中的小巧和J&

解.F+Fs=10/-73,+5/-180.

二lOcos(-73.)+jlOsin(-73.)-5

=-2.08-j9.56=9.78/-102.27.

FF=锄一个二2/-73,+180.=2/107.

।55/-180.

86假设•力=-5cos(314/+60.)4h=10sin(3147+60.)4

i=4cos(314/+60.)A3

(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图；

(2)力与力和Z与力的相位差；

(3)绘出力的波形图；

(4)假设将〈表达式中的负号去掉将意味着什么

(5)求力的周期7和频率f

解：(1)(=-5cos(314/+60.)=5cos(314/+60,-180.)=5cos(3141-120.)

i=10sin(3147+60.)=10cos(3147—30.)

故r,J；和人的相量表达式为

戌二27ionA冷-史Z-30。4，戌=4=Z60o力

小乙Z-120。4戌-/2<2

1，

题解8-6图

力①二中一中二-120。-(-30。)=-90o

'乙加I2

①二①一①二一120。一60.二一180oi3i3

(3)2.(t)的波形图见题解图1b)所示.

(4)假设将力(t)中的负号去掉，意味着力的初相位超前了180。.即

力的参考方向反向.

(5)[(t)的周期和频率分别为

2兀2兀

T-----=-=0.02s=20ms

3314

1

----=50Hz0.02

注：定义两个同频电的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在

比拟相位差时，两个正弦量必须满足(1)同频率；(2)同函数，即都是正弦

或都是余弦；(3)同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比拟.

8-7假设两个同频正弦电压的相量分别为

U=50/304,〃=-100Z-150。匕其频率f=100Hz.求:

(1)写出u/,s的时域形式：(2)u1与出的相位差.

(1)u\3=50您cos(2兀餐+30.)=50V2cos(628*30o)V

Ui(£)=/00'2cos(2兀-150.)=1002cos(628/-150.=

180.；V

=1Q0V2CCS(628/+30.)V

(2)由于〃=50/30K,U=-100/-150.V：100/30V

30300

故相位差为①二一.二.，即s与s同相位.

8—8:川⑺=22072cos(314力120。)V

(t]=220<2cos(3147+30.)V

(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率/和周期T;

(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；

解：(1)波形如题解8—8图(a)所示.

%(1)2(上).+；

题解8—8图

u=u=220Vu

(3)如果把电压也的参考方向反向，重新答复(1),(2).

有效值为

频率

314

二50必2兀

一二0.02s

周期2/50

(2)u和一的相量形式为

U=220/-120.VU=220Z30.V

I2

八一八120301

故相位差为5=QQ=.=50.

相量图见题解图(b)所示.

(3)口的参考方向反向,1(t)变为一’2(t),有效值、频率和周期均不

变，一仿⑴的相量为吟二220Z30-180.=200Z-150.V

“12015030

故'/和"，的相位差为5二QQ=/C.)=.

波形图和向量图见题解图(a)和(b).

8-9一段电路的电压、电流为:

u=10sin(1037-20.)V

i=2COS(1037-50.)J

(1)画出它们的波形图和向量图；(2)求出它们的相量差.

10sin(1032010cos(103110),一,

解：⑴"二.)=f.-故u和i的相量分别为

回段/T10，咫二Z-5O.A

<2<2

8-10图示三个电压源的电压分别为:

W=22俨/2cos(①t+10JV,劭=220Aco$(①t-110JV,

u=220J2cos(®t+130.)匕

求：⑴3个电压的和；（2）;（3）画出它们的相量图.

十

题解8-10图

解：匕，％,%的相量为

U=220Z10.V

a

U=220/—110.V

b

U=220Z130.V

c

(1)应用相量法有

或+或+220Z10,+220Z—110.+220Z130.

（0

即三个电压的和％，）十心）十心）二

欣伏一U=ZZUZ1IJ.-ZZU/-11U.而

⑵

ab=220<3Z40.V

U二成f=220/-H0「220Z130.bcbc

二220c3/~80.V

（3）相量图如题解8-10图所示.

8T1图⑸中电压表读数为匕：3"；Z：图/）中的：：加

1如‘；：IO'。（电压表的读数为正弦电压的有效值.）求图中电压〃

4

-

O£

以

-

题8-11图

解法一：

Q）图：设回路中电流隹”0.,根据元件的电压、电流相量关系，可得

题8Tl图

1=Rr=y?z/o.=30/0.v

R

或="恒X7/90.=60/90.VLLL

那么总电压火二+色二30+J60y

»人6026708

所以“S的有效值为。S=蔻02+=-v

（b）图：设回路中电流相量匡〃。4由于

"=RI/O=15/0,V

R

港二"坦-1/90=80/90.V

LLL

兀件相量关系有效值关系相位关系相量图

电阻R寸2，良

〃二不戌UR=RIR=4

RR

=-JX^.XZZ-90I=100Z-90oKccc

几〃〃/r1580100.1520V

所以总电压Us=BvlhU=+j万-J

3220225

故"的有效值为监=-门+=

解法二：利用相量图求解.设电流隹/0.为参考相量,电阻电压UR与

1同相位,电感电压叫超前戌90.,电容电压〃要滞后戌90.，总电压〃与各元l

件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图(a)和(b)为充应原图(a)和

(b)的相量图.由题解图(a)可得

US=U+U2=0302+602=67.08V

由题解图(b)可得

Us=4UR+(Uc-二<152+(100-80)2：258V

题解8—11图

注：这一题的求解说明,R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效

值和相位关系(如下表所示)是我

们分析正弦稳态电路的根底，必须很好地理解和掌握.

电感Lj

Ut=jXF0=0.+90o〃i

LLL

卜

电容C

u=~jx戌U=Xclc0=0.—90o

CCC(

8-12图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为A：5A；4：2.A：

XA•25，.求：（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持41的读数不变,而把电

源的频率提升一倍,再求电流表A的读数.

0—z—④T卜-o

S—@—

题8-12图

解法一:

。并联，设元件的电压为

根据元件电压、电流的相量关系，可得

我二曾二。二5Z0oJ

RRR

以二立」390。4二J204

JXL乂乙

戌二-U一二'Z900=25Z900=j25J

C~jXcXcJ

应用KLC的相量形式,总电流相量为

恒戌+戌+戌=5-J20+j25=5+j5=5%；2Z45°A

RLC

故总电流表的读数③■=/=Y=707

（2）设If二二1T二百二『二UZOo

5Z0-J位於

当电流的频率提升一倍后,由于"斤〃不变，所以〃4牟不

变,而‘乙二23'增大一倍，02①.减小一倍,因此,有

世上或］

-----~x20Z

i2®L2

=2><25/90.=50/90.A

是戌+戌+戌=5—J10+J50=5

所以

即，电流表的读数

题解8—12图

解法二：利用相量图求解.设隹0/°.二专二4二啤为参考向量，根

据元件电压、电流的相位关系知，耳和港同相位,与超前90.,号滞后幽0.,相量图

如题解8-12图所示，总电流龙与岑,丹和耳组成一个直角三角形.故电流表的读

数为

④“”心,12A

即(1)@=2+(25-20'=7.07A

(2)@=<,52+(25-10)2=40.31A

注：从8—11题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是

首先要选好一个参考相量,这人参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电

压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成相

量图中的几何关系.最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决.一般对串联

电路,选电流作参考方向较方便,如8-11题.对并联电路,那么选电压作参考相量

较方便,如8-12题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.

8-13对RL串联电路作如下两次测量,⑴端口加90V直流电压(®=。)时,

50

输入电流为3A；(2)端口力Uf=Hz的正弦电压90V时,输入电流为,求A和

A的值.

〔

丑

£

S

题解8—13图

解：由题意画电路如题解8—13图所示.

(1)当“为90V直流电压时，电感L看作短路，那么电阻

“二彳刁30="Q

⑵当法为90V交流电压时，设电流隹//..=1.8/0/，根据相量法,

U=/?N/是30X1.8+JXX1.8

t/=90=1.8XUO2+X2

SL

:90

X=.()2—302=40Q

,12

40

根据十2对100兀

8-14某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述4种情况时，它可能是

什么元件

u=10cos(102+45jrJu=10sin(100^)K(2)[i

i=2sin(102+135.)4-2cos(100^)J

Ju--lOcos2V45.)K

⑶]i=…i=2cos(314Z4

u二10cos(3142+

2cos(10135902cos(1045

解：(1)把电流变为余弦形式有，二，+),

〃和/的相量

为

回山/45W

<2

U,

*=5/0..

在

即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系可知这是一个5.的电阻元

件.

_A_cos(10090)

(1)把电压变为余弦形式有“=一，.V

102

(2)3-0/45.隹一/0.A

〃和/的相量为V2"2

或L〃5一

下=5/45.=-1+j)=/?+

产<2,

，-2.的电阻和气一正.的电感的串联组合.

即这是一个

8-15电路由电压源〃/0℃os(103加及发和片串联组成.电感端电压的有

效值为25V.求★值和电流的表达式.

解：由题意画电路的相量模型如题解8-15图(a)所示，相量图如题解图

(b)所示.由于

»100小

段=一/0.

$<2、

/二①L二10.3义0.025

25.

故电流的有效值为

1100...........................

)2—252=66.144F

2