第二章 轴对称图形（3类压轴题专练）

第二章轴对称图形（压轴题专练）一、三角形综合应用（选择压轴）1．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（）A．5个 B．2个 C．4个 D．3个2．如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一动点，点是线段上一动点，且，下面的结论：①； ②的最小值为；③； ④．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．43．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤4．如图，在等腰三角形中，，，于点，点是的延长线上一点，点在的延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④探究线段之间的数量关系5．如图，已知中，．点M，N在底边上，若．那么线段与之间的数量关系为___________．6．（1）已知，如图1，若是直角三角形，，，求证：；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边的中点，分别过点A、B向直线作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究和的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究和的数量关系．

7．在中，，，是的角平分线，于点．

(1)如图1，连接，若，则_；(2)如图2，点是线段延长线上的一点(不与点重合)，以为一边，在的下方作，交延长线于点．在边上取一点，使．①求证：；②请你写出，与之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当点M运动到线段延长线上的某个位置时，以为一边．在的左侧作交于点G．请直接写出与之间的数量关系．探究角之间的数量关系8．如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝_____．（用含α的式子表示）9．在中，，平分，过A作的垂线交直线于点M，若，则的度数为_________．

第二章轴对称图形（压轴题专练）答案全解全析一、三角形综合应用（选择压轴）1．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（）A．5个 B．2个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】只要证明、，即可判断①②正确，根据角平分线的定义利用即可判断③；过G作于点M，根据角平分线定理，结合，可得，又可得，即可判断④错误，证明可判断⑤正确．【详解】①，，，又，，，，又，，∴是等腰直角三角形，，在和中，，，．故①正确；②平分，，，，在和中，，，，，又，，即：，故②正确；③，平分，，，，，故③正确；④如图所示，过G作于点M，为等腰直角斜边BC的中点，，即，又平分，，，又，，又，，，，故④错误；⑤，，，，又，，为等腰三角形，故⑤正确．正确的为①②③⑤，共计4个，故选：C．2．如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一动点，点是线段上一动点，且，下面的结论：①；

②的最小值为；③；

④．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】连接，在上截取，证明是等边三角形，是等边三角形，进而证明即可判断①，根据当时，的值最小，此时，判断②；根据等边三角的性质以及已知条件得出，即可判断③；过点作于，则，进而得出即可判断④．【详解】解：连接，在上截取，，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，；故①正确；是等边三角形，，∴，∴当时，的值最小，此时；故②错误；是等边三角形，，，，故③正确；过点作于，，，，，，；故④正确．故选：C．3．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤【答案】D【分析】证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，可无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤．【详解】解：∵，∴，即，∵和都是等腰三角形，∴，，在和中，，∴，∴，，故①②符合题意；设与交于点G，∵，∴，∵，，∴，∴，即，故③符合题意；分别过A作，垂足分别为M、N，∵，∴，∴平分，∴，若平分，∴，∴，而，∴，∴，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；∵平分，，∴，故⑤符合题意．综上，正确的是①②③⑤，故选：D．4．如图，在等腰三角形中，，，于点，点是的延长线上一点，点在的延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】如图，设交于点．由，推出，推出，可证①②正确，延长到，使得，证明，推出，可得③正确，推出四边形的面积是定值，可得④错误．【详解】解：设交于点，如图所示：，，，，，，，，，，，，，故①正确；，，，是正三角形，故②正确；延长到，使得，连接，如图所示：，，是等边三角形，，，在和中，，，，，，故③正确；，，，且为定值，是变化的，是错误（与上面定值矛盾），故④错误；综上所述：正确的是①②③，故选：A．探究线段之间的数量关系5．如图，已知中，．点M，N在底边上，若．那么线段与之间的数量关系为___________．【答案】【分析】作，使得，连接，，先证，推导得；再证，推导得，最后得到．【详解】解：如图，作，使得，连接，，在中，∵，∴．在与中，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∵，，∴，即．∵，，∴，∵中，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．在与中，∵，∴，∴，，∵∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴．故答案为：6．（1）已知，如图1，若是直角三角形，，，求证：；（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：已知：点P是任意的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边的中点，分别过点A、B向直线作垂线垂足分别为E，F．①如图2，当点P与点Q重合时，探究和的数量关系；②如图3，当点P与点Q不重合时，探究和的数量关系．

【答案】（1）见解析；（2）①；②【分析】（1）延长至E，使，连接，证明，再证明，可得，从而可得结论；（2）①Q是的中点，过Q分别过点A、B向直线作垂线垂足分别为E，F，可得，，证明，可得，②延长交于G，证明，可得，结合，Q是的中点，可得，即．【详解】证明：（1）延长至E，使，连接，

∵在和中∴∴，∵在中，∴，即∵在和中，∴∴又∵，∴．（2）①∵Q是的中点，过Q分别过点A、B向直线作垂线垂足分别为E，F．∴，，在和中，∴∴

②延长交于G

∵，，∴，∴，∴，在和中，∴∴，∴，∵在中，Q是的中点，∴，即．7．在中，，，是的角平分线，于点．

(1)如图1，连接，若，则_；(2)如图2，点是线段延长线上的一点(不与点重合)，以为一边，在的下方作，交延长线于点．在边上取一点，使．①求证：；②请你写出，与之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当点M运动到线段延长线上的某个位置时，以为一边．在的左侧作交于点G．请直接写出与之间的数量关系．【答案】(1)4(2)①见解析；②，见解析；(3)．【分析】（1）根据已知条件证明，得出，继而得出是等边三角形，即可求解；（2）①证明是等边三角形，进而得出，证明；②由①可知，得出，是等边三角形．则，即可得证．（3）在的延长线上截取，连接，先证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴是等边三角形，∴；故答案为：4；（2）①证明：∵，，∴，又∵，∴是等边三角形．∴，∴，．∴．在和中，，∴；②，由①可知，则．∴，∵是等边三角形．则，∴；（3）解：结论：，理由：如图，在的延长线上截取，连接，

∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．探究角之间的数量关系8．如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝_____．（用含α的式子表示）【答案】120°+α【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得到AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得到AB是DE的垂直平分线，再根据图形中与所求角有关联的角的计算即可求解．【详解】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ADC与△EDC中，，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，∴∠EDC＝∠ADC＝150°，∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵ED＝AD，∴△EDA为等边三角形，∴∠EAD＝∠AED＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∴AB是∠EAD的角平分线，∴AB是ED的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠BED＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∴∠BED＝∠BDE＝30°﹣α，∴∠BDC＝∠EDC﹣∠BDE＝150°－（30°﹣α）＝120°+α，故答案为：120°+α．9．在中，，平分，过A作的垂线交直线于点M，若，则的度数为_________．【答案】或【