第3章 勾股定理 综合检测

第3章勾股定理综合检测一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.在△ABC中，若AC2-BC2=AB2，则()A.∠A=90° B.∠B=90°C.∠C=90° D.不能确定2.直角三角形的三边长分别为2x，则x的值有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.下列各组数中，是勾股数的一组是()A.0.3，0.4，0.5 B.817 C.16，18，14.(2023江苏泰州兴化期中)如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a和b，那么(a+b)2的值为()A.25 B.28 C.16 D.485.下图是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为17cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长l(cm)的取值范围为()A.4<l<5 B.4≤l≤5 C.3≤l≤5 D.l=56.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知BC=5，AB=13，点D是斜边AB上的动点，则CD的最小值为()A.6013 B.365 C.947.有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为“生长”1次(如图1)；再分别以这两个正方形的一条边为斜边，向外各作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为“生长”2次(如图2)；…….如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是() 图1 图2A.1 B.2022 C.2023 D.20248.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，AB上的动点，则PA+PQ的最小值是()A.2.4 B.4.8 C.4 D.5二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)9.(2021湖南岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为.(1丈=10尺，1尺=10寸)

10.小明和小丽正在玩纸片，小明将一块正方形纸片ABCD放在地面上，小丽将另一块正方形纸片CEFG也放在地面上，使其一个顶点与纸片ABCD的一个顶点重合，且∠CGD=90°，如图所示，现量得DG的长为7cm，设正方形ABCD的面积为S1，正方形CEFG的面积为S2，则S1-S2=.

11.(2022辽宁朝阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，BC=12，分别以点B和点C为圆心、大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是12.如图所示的网格是正方形网格(每个小正方形的边长为1)，则∠PAB+∠PBA=°(点A，B，P在小正方形的顶点上).

13.(2022黑龙江牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，则CD=.

14.观察下列各组勾股数：①35；②513；③725；④941；…….若a，144，145是其中的一组勾股数，则a=.

提示:5=15.(2022江苏徐州中考)如图，将长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上，AB=3，BC=5，则AE=.

16.(2023江苏南京秦淮月考)小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理.小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是①S=，②S=.

17.(2023江苏无锡期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，则△ACB的面积是.

18.如图，圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为cm.

三、解答题(本大题共6小题，共46分)19.(2023江苏南京鼓楼期末)(6分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D.求AD，BD的长.20.(7分)如图，星光蔬菜园要修建20个蔬菜大棚，棚高h=5m，棚宽a=12m，棚的长d为25m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米的塑料薄膜.21.(7分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请写出证明过程.(提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD)22.(2023江苏徐州期中)(8分)如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，连接CD.(1)若∠B=α，求∠DCA的度数(用含α的代数式表示)；(2)若点E是AB边上的一个动点，则线段CE的长的最小值为.

23.(2023江苏扬州江都二模)(8分)清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”.其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”.(1)按照这个法则，写出2组不同的勾股数：，(最大数不超过18)；

(2)用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明.24.(2022江苏南京期末)(10分)【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图①所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积.(1)方法一可表示为；

方法二可表示为；

(2)根据方法一和方法二，得出a，b，c之间的数量关系是(等式的两边需写成最简形式)；

(3)若一直角三角形的两条直角边的长为6和8，则其斜边长为；

【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.图②是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块.(4)用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为；

(5)已知2m-n=4，mn=2，利用(4)中的规律求8m3-n3的值. 图① 图②(5)本实验对你有怎样的启示?(写出一条即可)。

第3章勾股定理综合检测答案全解全析1.B∵AC2-BC2=AB2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠B=90°.故选B.2.B当x为斜边长时，x2=22+42=20；当4为斜边长时，x2=42-22=12.故x的值有2个.3.BA.0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；B.82+152=172，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，符合题意；C.16,18,110D.32+42≠42，故不是勾股数，不符合题意.故选B.4.B∵大正方形的面积为16，∴它的边长为4，即得a2+b2=42=16.由题意知4×12ab+4=16，∴2ab=12∴(a+b)2=a2+2ab+b2=16+12=28.故选B.5.B①当吸管垂直于底面时，吸管露在盒外部分最长，为17-12=5(cm)；②当插入盒内的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形时，吸管露在盒外部分最短，底面对角线的长为32+42=5(cm)，由勾股定理可得x2=52+122=169，∴x=13，则露在盒外的吸管最短为17-13=4(cm).故吸管露在盒外部分的长l的取值范围为4≤l≤5.故选B.6.A在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AB=13，∴AC2=AB2-BC2=132-52=144，∴AC=12.当CD⊥AB时，CD的值最小，为127.D如图，由题意得SA=1.由勾股定理，得SB+SC=1，∴“生长”1次后形成的图形中所有正方形的面积和为2.同理可得，“生长”2次后形成的图形中所有正方形的面积和为3，“生长”3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……∴“生长”2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是2024.故选D.8.B如图所示，作点Q关于直线BD的对称点Q'，因为BD平分∠ABC，所以点Q'在BC上，连接PQ'，则PA+PQ的最小值即为PA+PQ'的最小值，∴当A、P、Q'三点共线且AQ'⊥BC时，PA+PQ的值最小，过点A作AM⊥BC于点M，则PA+PQ的最小值即为AM的长.∵AB=6，BC=10，∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82，∴AC=8，∵S△ABC=12AM·BC=12AB·AC，∴AM=9.答案x2+(x-6.8)2=102解析门高AB为x尺，则门的宽为(x-6.8)尺，AC=1丈=10尺，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，即x2+(x-6.8)2=102.10.答案49cm2解析在Rt△CDG中，由勾股定理得CD2-CG2=DG2，∵DG=7cm，∴CD2-CG2=72=49.∵S1=CD2，S2=CG2，∴S1-S2=CD2-CG2=49(cm2).11.答案18解析由题意可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC2=AB2-BC2=25，∴AC=5，∴△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=5+13=18.故答案为18.12.答案45解析如图，延长AP交网格线于D，连接BD，则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，PD=BD，∴∠PDB=90°，∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.故答案为45.13.答案3解析如图，过点D作DE⊥AB于E.∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB2=AC2+BC2=62+82=100，∴AB=10.∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，又∵S△ABC=12AC·CD+12AB·DE=∴12×6·CD+12×10·CD=1解得CD=3.14.答案17解析观察各组勾股数，根据题目中的提示可得，145=a2+115.答案4解析在长方形ABCD中，∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5.由翻折的性质可知，FC=BC=5，EF=BE.在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2=FC2-CD2=16，∴DF=4，∴AF=AD-DF=1.设AE=x，则BE=EF=3-x.在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2=AE2+AF2，即(3-x)2=x2+12，解得x=43，即AE=4故答案为4316.答案c2+ab；a2+b2+ab解析如图，延长AB，交CD于点E，①五边形的面积=边长为c的正方形的面积+2个全等的直角边长分别为a，b的直角三角形的面积，即S=c2+12ab·2=c2+ab；②五边形的面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+2个全等的直角边长分别为a，b的直角三角形的面积，即S=a2+b2+12ab·2=a2+b17.答案6解析如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE.由题意知CD=BD.在△ADC与△EDB中，AD=ED,∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=5，∠CAD=∠E.又∵AE=2AD=4，AB=3，∴BE2=AE2+AB2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB=90°.∴S△ACB=2S△ABD=2×12故答案为6.18.答案10解析如图(图中数据的单位：cm)，将杯子的侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'C，交EF于P，作A'D⊥CF，交CF延长线于点D，连接AP，易知A'C的长为所求的最短路程，A'D=8cm，CD=6cm，根据勾股定理得A'C2=A'D2+CD2=82+62=102，所以A'C=10cm，即所求的最短路程为10cm.19.解析∵∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC2=AB2+AC2=625，∴BC=25.∵S△ABC=12AB·AC=12∴AB·AC=BC·AD，∴15×20=25AD，∴AD=12.∵AD⊥BC，∴BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9.20.解析如图，∵h=5m，a=12m，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=169，∴AB=13m，∴要建20个蔬菜大棚需要13×25×20=6500(m2)塑料薄膜.答：需要6500m2塑料薄膜.21.证明如图，连接DB，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则DF=EC=b-a.由两三角形全等可推得∠DAB=90°.∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=12bS四边形ABCD=S△ADB+S△DCB=12c∴12b∴a2+b2=c2.22.解析(1)∵AB=10，AC=6，BC=8，∴AC2+BC2=62+82=100，AB2=102=1