2.1.2 与三角形有关的角

第2章三角形2.1三角形第2课时与三角形有关的角基础过关全练知识点4三角形的内角和13.在△ABC中，∠A=2∠B=75°，则∠C的度数是()A.30° B.67.5° C.105° D.133°14.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数.15.如图，已知△ABC中，∠B=∠C，D为边BC上一点(不与B，C重合)，E为边AC上一点，∠ADE=∠AED，∠BAC=44°.(1)求∠C的度数；(2)若∠ADE=75°，求∠CDE的度数.知识点5三角形的分类16.(2023广西桂林期中)在△ABC中，若∠A=65°，∠B=25°，则△ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定知识点6三角形的外角及其性质17.(2023湖南长沙期中)如图，直线AB∥CD，∠M=90°，∠MPA=32°，则∠MEC的度数是()A.58° B.122° C.132° D.148°18.小枣用一副三角板摆成了如图所示的图形，则图中∠α的度数是()A.5° B.10° C.15° D.20°19.如图，已知AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，∠B=32°，则∠C=°.

20.一个零件的形状如图所示，规定∠A=90°，∠B和∠C分别是32°和21°的零件为合格零件，现质检工人量得∠BDC=149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.能力提升全练21.(2021广西梧州中考)在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C=()A.32° B.36° C.40° D.128°22.(2023广西南宁横州期中)不一定在三角形内部的线段是()A.三角形的高 B.三角形的中线 C.三角形的角平分线 D.以上答案均不正确23.(2022四川德阳中考)如果杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是()A.1km B.2km C.3km D.8km24.(2021贵州毕节中考)将一副三角板按如图所示的方式摆放在直尺上，则∠1的度数为()A.70° B.75° C.80° D.85°25.(2023湖南常德安乡期中)已知等腰三角形的周长为15，其一边长为7，那么腰长是.

26.(2022江苏常州中考)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是.

27.(2022湖北黄冈浠水月考)在△ABC中，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，求AC和AB的长.28.(2022北京中考)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.如图，在△ABC中，求证：∠A+∠B+∠C=180°.方法一证明：如图，过点A作DE∥BC.方法二证明：如图，过点C作CD∥AB.素养探究全练29.(2023北京房山期中)如图，△ABC中，∠C=45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是边AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE=α.(1)若α=30°，求∠PEB+∠PDA的度数；(2)用含α的式子表示∠PEB与∠PDA的数量关系，并说明理由.30.(2023天津和平期中)【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”.【问题解决】(1)如图②，在△ABC中，∠A=65°，∠ABC=45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；(2)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻CB三分线，且∠BPC=135°，求∠A的度数；【延伸推广】(3)如图④，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A=m°(0<m<60)，∠ABC=60°，则∠BPC的度数为(用含m的代数式表示).

第2章三角形2.1三角形第2课时与三角形有关的角答案全解全析基础过关全练13.B∵∠A=2∠B=75°，∴∠B=37.5°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-37.5°=67.5°.故选B.14.解析在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∴∠ADB=90°，∴在△ADB中，∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-60°=30°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.15.解析(1)∵∠BAC=44°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-44°=136°，∵∠B=∠C，∴2∠C=136°，∴∠C=68°.(2)∵∠ADE=∠AED，∠ADE=75°，∴∠AED=75°，∵∠AED+∠CED=180°，∴∠CED=180°-75°=105°，∵∠CDE+∠CED+∠C=180°，∴∠CDE=180°-105°-68°=7°.16.B在△ABC中，∠C=180°-65°-25°=90°，∴△ABC是直角三角形，故选B.17.B∵∠M=90°，∠MPA=32°，∴∠BFE=∠M+∠MPA=90°+32°=122°，∵直线AB∥CD，∴∠MEC=∠BFE=122°.18.C如图，由题意得∠A=45°，∠1=60°，∵∠1是△ABC的外角，∴∠α=∠1-∠A=15°.19.答案32解析∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=32°，∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD=64°，∵∠EAC是△ABC的外角，∴∠C=∠EAC-∠B=64°-32°=32°.20.解析如图，延长BD交AC于E，∵∠A=90°，∠B=32°，∴∠DEC=∠A+∠B=90°+32°=122°，∵∠C=21°，∴∠BDC=∠C+∠DEC=21°+122°=143°≠149°，∴这个零件不合格.能力提升全练21.A在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A=20°，∠B=4∠C，∴20°+4∠C+∠C=180°，∴∠C=32°.22.A钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选A.23.A当杨冲、李锐两家和学校在一条直线上时，杨冲和李锐家的直线距离为2km或8km；当杨冲、李锐两家和学校不在一条直线上时，设杨冲和李锐两家的直线距离为xkm，根据三角形的三边关系得5-3<x<5+3，即2<x<8，∴杨冲、李锐两家的直线距离不可能是1km，故选A.24.B如图，∵∠2=180°-90°-30°=60°，∠4=180°-90°-45°=45°，∴∠3=180°-45°-60°=75°，∵a∥b，∴∠1=∠3=75°.25.答案7或4解析①当等腰三角形的底边长为7时，腰长=(15-7)×1226.答案2解析∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△AEC=2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD=S△ACD=2.27.解析∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，设BD=CD=x，则BC=2x，AC=2BC=4x，分为两种情况：①当AC+CD=70，AB+BD=50时，4x+x=70，解得x=14，∴BD=CD=14，BC=2x=2×14=28，AC=4x=4×14=56，∴AB=50-BD=50-14=36，∵BC+AB=28+36=64，AC=56，64>56，∴能组成三角形，此时AC=56，AB=36；②当AC+CD=50，AB+BD=70时，4x+x=50，解得x=10，∴BD=CD=10，BC=2x=2×10=20，AC=4x=4×10=40，∴AB=70-BD=70-10=60，∵BC+AC=20+40=60，AB=60，60=60，∴不能组成三角形，舍去.综上所述，AC=56，AB=36.28.证明方法一：∵DE∥BC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∴∠B+∠ACB+∠A=180°.素养探究全练29.解析如图，连接PC.(1)∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB=∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA=∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠ACB+∠DPE=45°+30°=75°.(2)∠PEB+∠PDA=45°+α.理由：∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB=∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA=∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠ACB+∠DPE=45°+α.30.解析(1)∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BDC是△ABD的外角，∠A=65°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=65°+15°=80°.(2)∵BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻CB三分线，∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=1∵∠BPC=135°，∴∠PBC+∠PCB=13∠ABC+1∴∠ABC+∠ACB=135°.在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=45°.(3)如图，当BP和CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACD的邻CD三分线时，∵∠CBP=13∠ABC，∠PCD=1∴13∠ACD=∠BPC+1即∠ACD=3∠BPC+∠ABC，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A+∠ABC=3∠BPC+∠ABC，整理得∠BPC=13∠A=1如图，当BP和CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACD的邻CA三分线时，∵∠CBP=13∠ABC，∠