相似三角形的性质及应用

专题27.2.3相似三角形的性质及应用

典例体系（本专题共85题67页）

典例1：影长测高问题

考点1：高度（距离）测量典例2：镜面测高问题

典例3:其他测言问题

一、知识点

相似三角形的性质

（1）对应角相笠，对应边成比例.

（2）周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.

（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.

二、考点点拨与训练

考点1:高度（距离）测量

典例1：影长测高问题

（2020•无锡市东北塘中学初三月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组

的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.

小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2）,墙壁上的影长为1.2

米，落在地面上的影长为2.4米.

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3）,测得此影子

长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在

坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m.

(1)在横线上直接填写甲树的高度为米.

(2)求出乙树的高度(画出示意图).

(3)请选择丙树的高度为()

A、6.5米B、5.75米C、6.05米D、7.25米

(4)你能计算出丁树的高度吗？试试看.

【答案】(1)5.1：(2)图见解析，4.2米；(3)C；(4)5.56米.

【解析】(D设甲树的高度为x米，

解得x=5.1(米)，

故答案为：5.1；

(2)如图，设AB为乙树的高度，BC=2.4.8=1.2,

四边形AECD是平行四边形，

.•.AE=C£)=L2,

BE1BE1

由题意得:-----——，即----——

BC0.82.40.8

解得8E=3,

则乙树的高度A3=AE+BE=1.2+3=4.2(米)；

(3)如图，设AB为丙树的高度，EF=0.2,CE=().3,BC=4.4.

DEDE1BGBG1

山题意得:

解得OE=0.25,BG=5.5,

：.CD=CE+DE=0.3+0.25=0.55,

四边形AGCD是平行四边形，

.•.AG=C£）=0.55,

则丙树的高度AB=AG+BG=0.55+5.5=6.05（米）,

故选：C；

（4）如图，设AB为丁树的高度，BC=2.4,CD=32,

…BEBE1CFCF1.6

由就息得：-=—>==—

BC2.40.8CD3.22

解得8E=3，CF=2.56,

四边形AECF是平行四边形,

AE=CF=2.56,

则丁树的高度AB=A£+BE=2.56+3=5.56（米）.

方法或规律点拨

本题考查了同一时刻的阳光下，树高与其影长的比实际上就是相似比，正确画出图形，将实际问题转化为

数学问题是解题关键.

巩固练习

1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，

量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，

量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1

尺=10寸），则竹竿的长为（）

竹\

竿T

标\

\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【答案】B

【解析】设竹竿的长度为x尺，

•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=--尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

.x_1.5

解得x=45（尺）,

故选B.

2.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树AB的高度，他沿着树影CB由。向8走，当走到点。时，

他的影子顶端正好与树的影子顶端重合.此时A、E、。三点恰好在一条直线上.经测得0）=1米，3。=3

米，则树的高度A6为（）

A.3米B.4米C.4.5米D.6米

【答案】D

【解析】解：根据题意，可知：/ABC=/EDC=90。，

VZC=ZC,

/.△ABC^AEDC,

ABBCAB3+1

——=---,即——=----,

EDDC1.51

AB=6.

故选：D.

3.某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为15〃的同学的影长为1.35%

由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6〃?，建

筑物上的影长为18”，则树的高度为（）

A.5.4mB.5.8tnC.5.22mD.6.4m

【答案】B

【解析】解：如下图所示，延长BD、AC交于点E,BD=3.6米，CD=1.8米,

•.•同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影长为1.35米，

CD1.51.81.5

——=----.即Rll——=----,

DE1.35DE1.35

•,.DE=1.62,

VCD//AB,

AZECD=ZEAB,NCDE=NABE,（两直线平行，同位角相等）

/.CDEsABE,

.CDDE1.81.62

•.---=----,即Hn--------------,

ABBEAB1.62+3.6

AAB=5.8（米），

故选：B.

4.（2020•湖北巴东•初三其他）如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不考虑牌子的厚度）.有

一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，

而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点E处，己知BC=6米，正方形边长为3米，DE=5米.则电线

杆AB的高度是（）米.

【答案】C

【解析】解：过点G作GH〃BC,GM±BE,

根据题意，四边形BMGH是矩形，

，BH=GM=3米，

根据题意可得△AHGsAFDE,

.AH_GH

"~DF~~DE'

AH_7.5

亍-V

/.AH=4.5,

15„

AB=AH+BH=4.5+3=—米,

2

故选：C.

4

、《尸

H

BCMD

5.（2020.山东莱州.初二期末）兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的

竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学

楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为

4.4米，则树高为（）

A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米

【答案】C

【解析】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米,

,同一时刻物高与影长成正比例，

AAE：ED=1：0.4,即AE：4.6=1：0.4,

•,.AE=11.5米，

/.AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，

二树的高度是11.8米，

故选c.

6.（2019•全国初三课时练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE,已知

亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高48=2米，那么窗口底部离地面的高度8（2为（）

A.2米B.2.5米C.3米D.4米

【答案】B

【解析】由题意知4DIIBE,

BJWABCEMACD,

.BC_CE

*'AC-'CD"

;CD=CE+ED=5+4=9（米），AC=BCAB=（BC+2）米，

・BC5

••---------——,

BC+29

:.BC=2.5米，

故选B.

7.（2020•广东南海•初三月考）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2机的竹竿做测量工具，移动

竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A,此时，竹竿与点4相距8处与旗杆相距22/77,

则旗杆的高为（）

【答案】C

【解析】如图，AD=8m,AB=30m,DE=3.2m；

由于DE〃BC,则AADESZ\ABC,

得：必=匹，即色占，

ABBC30BC

解得:BC=12m,

故选C.

8.（2020•河南舞钢•初三期末）如图，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯

A距地面2米，圆桌的影子是DE,AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2,

0）.那么点E的坐标是.

【答案】（4,0）

【解析】如图，延长CB交y轴于F,

:桌面与x轴平行即BF〃OD,

.,.△AFB^AAOD,

VOF=0.8,

,•.AF=AO-OF=2-O.8=1.2,

：OA=OD=2,

则AF=FB=1.2,BC=1.2,FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4,

■:FCHx轴，

/.△AFC^AAOE,

.AFFC

"AO"6E

AOFC2x2.4

OE=-----------=----------=4,

AF1.2

E(4,0).

故答案为:(4,0).

9.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处

时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米.

（1）求路灯A的高度;

（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？

【答案】（1）路灯A有6米高（2）王华的影子长g米.

【解析】（1）由题可知AB//MC//NE,

MCCDNEEF=八°

----=----------=-----，而MC=NE

-15BD且BBF

...-C-D-=-E--F-

BDBF

1“4

；CD=1米，EF=2米，BF=BD+4,，BD=4米，.-.AB=——=6米

1

所以路灯A有6米高

（2）依题意，设影长为x,则x=盘邑解得可=§米

x+BFAB3

答：王华的影子长5米.

10.（2019・河南平舆•初三期中）如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2〃/长的竹竿垂直

地面，影长为2%，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影

高为2m，那么这棵树高约有多少米？

【答案】这棵树高4.4根.

【解析】过点。作CE//AD交A3丁点E

则CD=AE=2m，，ABCE〜AB'BA1

:.AB':B'B=BE:BC,即1.2:2=BE:4

:.BE=24

.L=2.4+2=4.4

答：这棵树高4.4〃?.

11.（202。贵州贵阳•初三开学考试）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD,用长为1m的

竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E,且点E，

A，。在同一直线上.已知E4=3m,AC=9m,求这棵树的高度CD.

【答案】这棵树的高度CD为4m

【解析】解：:人台〃。。，

AEAfis△召CD,

.ABEA31

"CD-EC-3+9-4'

AB=1，

二C£）=4.

答：这棵树的高度CO为4m.

12.（2019•全国初三课时练习）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度,

现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.

（1）画出你设计的测量平面图；

（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a,b,c...表示）

【答案】（1）如图，见解析，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；（2）

旗杆的高度为一cm.

h

【解析】（I）如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合;

（2）用皮尺测量旗杆的影长8E=am,标杆CD的影长OE=hm,标杆高CO=ccm.

•:AEDCs^EBA，

.CDEDc_b

••------------,即------—一,

ABEBABa

4八ac

:.AB=—cm,

b

所以旗杆的高度为半cm.

b

13.（2020•上海市金山初级中学初三月考）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形

的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如

图，如果木杆EF长2加，它的影长ED为3根，测得。4为201根，求金字塔的高度80.

【答案】BO=134m.

【解析】解：QBF//ED

:.NBAO=NEDF

又QZAOB=/DFE=90°

^ABO:ADEF

:.BO:EF=OA:FD

QEF=2m,FD=3m,OA=201m

.•.50:2=201:3

即50=134（m）

14.（2020.江苏淮安•初三一模）如图，花丛中有一路灯A8.在灯光下，小明在点D处的影长£>E=3m,沿

方向行走到达点G,DG=5m,这时小明的影长GH=5m.如果小明的身高为1.7m,求路灯AB的高度.

（精确到0.1m）

*3DEGH

【答案】路灯的高度约为6.0m

【解析】由题意，得CDLBH,FG±BH,

：.CDIIABACDEs^ABE.

.CDDE

••=---------.①

ABBD+DE

同理，,

•_F_G_=_______H__G______

"AB~HG+GD+DB

乂•：CD=FG=L7,

DEHG

：.由①,②可得

BD+DE~HG+GD+BD

即=

'BD+35+5+BD

解得8。=7.5.

将3D=7.5代入①，得AB=5.95=6.0.

故路灯AB的高度约为6.0m.

15.（202。全国初三课时练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子

与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中

看到树尖A；第二次他把镜子放在点。处,人在点F处正好在镜中看到树尖A.已知小军的眼睛距地面1.7m,

量得CC'=12m,CF=1.8m,C'F'=3.84m.求这棵古松树的高度.

【答案】这棵古松树的高度为10m.

【解析】设这棵占松树的高度AB=xm,BC=ym.

ABLBC，EF1BC,

ZABC=ZEFC=90°,

又,:ZACB=NECF，

AABCs^EFC,

EFCF

ABLBC-E'F'LC'F'，

ZABC=Z£'F'C'=90°.

又：ZAC'B=/E'CF,

△ABC'^AE'F'C.

E'F'C'F'

ABBC'

EF=EF'，

CFC'F'1.8_3.84180

—=>即Hn—■-,解得y=—

BCBCyy+1217

即BC=­m.

17

,EFCF

乂•———,

ABBC

1.71.8

.,.T=W.

~n

解得x=10,即AB=10m.

答：这棵古松树的高度为10m.

16.（2020•陕西师大附中初三其他）小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的

周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度A8,但

是他没有带任何测量工具.于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同.小明测出离路灯较近

的网杆在路灯AB下的影长。R为2步，离路灯较远的网杆在路灯A3下的影长EC为5步，回家后小明上

网查资料得到羽毛球网杆高O0=NE=1.55米，网长MN=6.1米，同时测得1步。1米，求路灯的高度（结

果保留一位小数）

【答案】路灯的高度约为4.7米

【解析】解：QDM//AB,

：NFMD:7FAB,

MDFD

设AB-x,BD=y

•_1_._5_5=___2__

x2+y

QNE//AB,

:NCNE:NCAB,

NECE

•_1_._5_5______5____

x5+6.1+y

._2=5

x2+y5+6.1+y

.1.55_________5-2________

x(5+6.1+y)—(2+y)

1.55x9.1*r

：.x=---------X4.7

3

答：路灯的高度约为4.7米.

17.（2020・无锡市钱桥中学初三月考）如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离

墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处.

（1）求路灯AB的高度.

（2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长.

（3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？

p

【答案】(1)6.4米；(2)5米；(3)西米

【解析】解：(1)♦•・80=2()米，00=17米,

30=80—00=20—17=3米，

OG=1米，

二■BG=BD+£)G=3+1=4米，

•；AB、CD都与地面BO垂直，

:.ABG~CDG，

.•.生=空,即生」,

ABBGAB4

二AB=6.4米；

(2)小亮的位置如图所示：

EFF0„„1.6F0

二---=----,即——=----.

ABB06.420

，产。=5米;

(3)如图，过点M作B0的平行线，交AB于点H,交P0于点K,连接AM并延长交P0于点L,

:小亮距离墙2米，

ON=MK=2米，

二府=20-2=18米，

•..AB=6.4米，M/V=L6米，

二47=6.4-1.6=4.8米,

,/AHMLKM，

KLMKKL2

：.——=------,即un一=——，

AHHM4.818

KL5米，

30

.•.墙上的影子长为1.6—3=3米.

3015

典例2：镜面测高问题

为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，

利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米

的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3.2米,

观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度.

【答案】树AB的高度为4.2米

【解析】过点E作EFLBD于点E,则/1=N2,：/DEF=NBEF=90。,

.\ZDEC=ZAEB,

VCD1BD,AB±BD,

/.ZCDE=ZABE=90°,

.♦.△CDES/XABE,

.DECD

BEAB

：DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，

.3.2_1.6

•a■'-,

8.4且5

解得AB=4.2（米）.

答：树AB的高度为4.2米.

方法或规律点拨

本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象

到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

巩固练习

1.如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一

水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部民已知小颖

的眼睛D离地面的高度CQ=1.6〃?，她离镜子的水平距离CE=1.2m,镜子E离旗杆的底部A处的距离AE

=3.6m,且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为（）

【答案】C

【解析】解：由题意可得：AE=3.6m,CE=1.2m,DC=1.6m,

,."△ABE^ACDE,

.DCCE

»•一，

ABAE

1.61.2

a即n一=—,

AB3.6

解得：AB=4.8m,

故选：C.

3.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面8。的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭

台阶BC等高的台阶£>E（OE=BC=0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G

处，测得CG=12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=2

米，小明身高EF=1.6米，则凉亭的高度A8约为（）

A.9米B.9.6米C.10米D.10.2米

【答案】D

【解析】解：如图：

由题意NAGC=NFGE,

VZACG=ZFEG=90°,

AAACG^AFEG,

AAC：EF=CG：GE,

.-J-

••一,

1.62

.♦.AC=9.6米，

/.AB=AC+BC=9.6+0.6=10.2米.

故选：D.

4.（2020•北京海淀•人大附中初三其他）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平

面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m,旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若

小明的眼睛与地面的距离为1.6m,则旗杆的高度为（单位：m）（）

A.12.4B.12.5C.12.8D.16

【答案】C

【解析】解：如图，BC=2m,CE=16m,AB=1.6m,

D

由题意得/ACB=NDCE,

VZABC=ZDEC,

.,.△ACB^ADCE,

.ABBC,『1.62

••---------,即--------，

DECEDE16

，DE=12.8

即旗杆的高度为12.8m.

故答案为：C.

5.（2020•全国初三课时练习）如图，小颖为测量学校旗杆A3的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到

C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部既已知小颖的眼睛。离地面的高度CQ=15”，她离镜子的水平

距离CE=0.5m,镜子E离旗杆的底部A处的距离4E=2〃?，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆

AB的高度为（）

【答案】D

【解析】解：由题意可得：AE=2m,CE=0.5，〃，0C=1.5，〃,

■:AABCSAEDC,

.DCCE

••=,

ABAE

解得：AB—6,

故选

7.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教

学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知

她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）

【答案】12.8米

【解析】•・•根据反射定律知：ZFEB=ZFED,

.\ZBEA=ZDEC

VZBAE=ZDCE=90°

AABAE^ADCE

.ABAE

*-EC；

♦・・CE=2.5米，DC=L6米，

..•—AB=—20•

1.62.5*

，AB=12.8

二大楼AB的高为12.8米.

8.星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的

纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？“请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度（画

出示意图），并说明理由.

【答案】答案见解析.

【解析】解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑A8的地面上平放一面镜子E,人退后到。处，在镜子里

恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出C。、DE、的长，就可算出纪念碑48的高.

理由：测量出C。、DE、BE的长，因为ZD=ZB=90°,易得根据一

AB

---，即可算出AB的高.

BE

9.（2019•全国初三课时练习）如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处

积水C,从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆A3

的高度.

【答案】旗杆AB的高度为30米

（解析］；，DELEC.

，ZE=ZB=90°.

又•:4DCE=^ACB，

：.APEC^AABC,

.DEEC1.52

••-------,L'l-I=—,

ABBCAB40

筋=30米，

.••旗杆AB的高度为30米.

典例3：其他测量问题

（2018•全国初三单元测试）如图，一条东西走向的笔直公路，点A、8表示公路北侧间隔150米的两棵树

所在的位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点尸的位置时，观察

树A恰好挡住电视塔，即点尸、4、C在一条直线上，当他继续走180米到达点。的位置时，以同样方法观

察电视塔，观察树8也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB〃P。，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路

南侧PQ的距离.

//_______________

PQ

【答案】电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米.

【解析】

如图所示，作CEL尸。于E,交AB于D点、,

A

J/C

//I

tt!

yA7B~~7D~

,/I

//I

PQE

设CO为x,则CE=60+x,

".'AB//PQ,

：.△ABCsXPQC,

即」-上也，

ABPQ150180

解得产300,

.\x+60=360米，

答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米.

方法或规律点拨

本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.

巩固练习

1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕。点旋转到AC位置，已知AB_LBD，CDA.BD,

垂足分别为3，D，AO=4m,AB=1.6m,C0=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离CO为（）

【答案】C

【解析】解：•••AB_LB£），CD.LBD,

AZABO-ZCDO,

VZAOB=ZCOD,

.,.△AOB^ACOD,

.AOAB

~CO~~CD

VAO=4m,AB=1.6m,CO=lm,

1.6x1

3①=OAm.

AO4

故选C.

2.（2019•河南南阳•初三期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈

五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山A3位于树

的西面.山高A3为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好

与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高AB的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）（）

A.162丈B.163丈C.164丈D.165丈

【答案】D

【解析】由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，

过E作EG_LAB于G,交CD于H,

则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，

•；CD〃AB,

.♦.△ECHS/XEAG,

.CHEH

~AG~~EG

•_9_5_-_7____3__

'TAG3+53

AAG=164.2丈，AB=AG+0.7=164.9R65丈,

故答案选D.

3.如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF

保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm,EF=15cm,测得边DF离

地面的高度AC=1.5m,CD=7m,则树高AB=（）m.

B

A.3.5B.4C.4.5D.5

【答案】D

【解析】VZDEF=ZBCD=90°,ZD=ZD,

/.△DEF^ADCB,

ABC：EF=DC：DE,

VDE=30cm=0.3m,EF=15cm=1.5m,AC=1.5m,CD=7m,

•BC7

，BC=3.5米，

，AB=AC+BC=1.5+3.5=5m,

故选D.

4.（2019•陕西初三专题练习）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地

图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高

度为EF,观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）

图中由左向右依次为利杵、水瓶仪、IS植

ITh

EFCFEFCFCECFCECF

i___—____B___—_______—____D.------------

AB~FBAB~CBCAFBEACB

【答案】B

EFCFCE

【解析】解：：EF〃AB,.♦.△CEFs/xCAB,—=—=一匕故选B.

ABCBCA

5.（2019•北京市十一学校初三月考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，

移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m,与树相距

15m,则树的高度为m.

【答案】7

【解析】

设树的高度为Xm,由相似可得2==解得x=7,所以树的高度为7m

262

6.（2020・陕西交大附中分校初三月考）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC,

已知栏杆A8的长为3.5米，0A的长为3米，点C到A8的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏

杆端点D离地面的距离为米

【答案】2.4

【解析】解：过D作DG_LAB于G,过C作CH_LAB于H,

则DG〃CH,

,.△ODG^AOCH,

.DGOP

~CH~~OC'

.•栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC,

•.CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,

*.OC=0.5m,

,DG3

•六一讲‘

\DG=1.8m,

/OE=0.6m,

•.栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m).

D,

/-i_-

GTTN；

7.（2019•全国初三课时练习）我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又

不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，

使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm,食指的长约为8cm,则敌方建

筑物的高度约是m.

建

筑

物

【答案】20

【解析】解：：40cm=0.4m,8ctn=0.08m

VBC//DE,AG1BC,AF±DE.

.,.△ABC^AADE,

ABC：DE=AG：AF,

A0.08：DE=0.4：100,

，DE=20m.

故答案为：20.

2手指位置

建

二

筑

二

物

一

//////////////

E

8.（2020•上海浦东新•初三月考）如图，测量小玻璃管口径的量具A8C上，AB的长为10mm,AC被分为

60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DEHAB）,那么小管口径OE的长是mm.

加3050

【答案】5

【解析1解：VDEZ/AB

.♦.△CDEs/XCAB

ACD：CA=DE：AB

A30：60=DE：10

ADE=5毫米

.•.小管口径DE的长是5毫米，

故填:5.

9.（2020•重庆南开（融侨）中学校初二期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有y

国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将

对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离/约为63的，食指45长约为7a篦，旗杆8

高度为28米，则对方与我军距离d约为米.

【答案】252

【解析】解：63cm=0.63m,AB=7cm=0.07m,

：AB〃CD,

/.△ABO^ACDO,

.AB0.63

.・-------------

CDd

d=252（m））

故答案为:252.

10.（2020•福州・福建师范大学附属中学初中部初三月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问

题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸.问井深几何？’‘意思是：如

图，井径3七=5尺，立木高AB=5尺，加＞=4寸=04尺，则井深x为__________尺.

【解析】解：依题意可得△ABDs/ViFC,

.,.AB：AC=BD：FC,

即5：AC=0.4：5,

解得AC=62.5,

X=BC=AC-AB=62.5-5=57.5尺.

故答案为：57.5.

11.（2019•山东青岛•初三期中）如图，为了测量一棵树CZ）的高度，测量者在B处立了一根高为2.5相的标

杆，观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上，若测得80=7〃?，FB=3m,EF=1.6m,则树

rWi为_____

【解析】解：作EHLCD于H,交AB于G,如图，

贝l]EG=BF=3m,GH=BD=7m,GB=HD=EF=1.6m,

所以AG=AB-GB=2.5-1.6=0.9(m),

VAG/7CH,

/.△EAG^AECH,

.AG_EG0.9_3

CHEHCH3+7

解得：CH=3,

；.CD=CH+DH=4.6(m).

故答案为：4.6.

12.（2020.陕西交大附中分校初三月考）如图有一块直角边AB=4cm,BC=3cm的RjABC的铁片，现要

把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）

【答案】D

【解析】如图，过点8作垂足为P,BP交DE于Q.

ABBC3x412

二BP=-----------=-------=——

AC55

'：DE//AC,

:.NBDE=NA,NBED=NC,

:ABDEs丛BAC,

.DEBQ

12

-----x

设DE=x,则有：一=Ic—

512

5

解得x=.

37

故选：D.

13.（2020•上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口8处立一根垂直

于井口的木杆BD,从木杆的顶端。观察井水水岸C,视线OC与井口的直径AB交于点E,如果测得48=1.6

米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为米.

【答案】7米.

【解析】解：'：BD±AB,ACLAB,

：.BD//AC,

：./\ACE<^/\DBE,

.AC_AE

,BD-BE

•AC_1.4

••—,

10.2

；.AC=7（米），

故答案为：7（米）.

14.（2019•安徽初三月考）如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m,面积为1.5m2.按图中

要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为m.

【解析】解：•••一块直角三角形木板，一条宜角边AC的长L5m,面积为1.5m2,

1.5

.••另一直角边长为：1.=2（m）,

—xl.5c

2

则斜边长为：6+1.52=2.5,

设点C到AB的距离为h,

贝SAABC=TTx2.5h=1.5,

2

解得:h=1.2,

•正方形GFDE的边DE〃GF,

.,.△ACB^ADCE,

h-x_DE

hAB'

1.2—xx

即

1.2

解得：x=—,

37

故答案为一.

37

15.（2018•北京房山•初三期中）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A,再

在河的这一边选点B和点C,使得AB_LBC,然后再在河岸上选点E,使得EC_LBC,设BC与AE交于点

D,如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是.

【答案】100米

【解析】,：ABLBC,ECA.BC,AZB=ZC=90°.

,ABCEAB50

又；NADB=NEDC,:.△ADBs^EDC,：.——=——，即——=—.

BDDC12060

解得：48=100米.

故答案为100米.

16.（2020•山东莱州•初二期末）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,

立杆AB、CD相交于点O,B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,

现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm,垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时,

连衣裙才不会拖在地面上？

图2

【解析】解：过点。作OMLEF于点M,

VOA-OC,

.,.ZOAC=ZOCA=—(180°-ZBOD),

2

同理可证：ZOBD=ZODB=­(180°-ZBOD),

2

.\ZOAC=ZOBD,

，AC〃BD,

在RtAOEM中，0M==30(cm),

过点A作AH1.BD于点H,

同理可证：EF〃BD,

•,.ZABH=ZOEM,则RSOEMSRSABH,

.OE_OMOMMB30x136

AH==120(cm).

,布一丽OE~34

所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上.

故答案为120.

18.如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示.根

据实际情况画出平面图形如图2(CD_LDF,AB1DF,EF1DF),甲从点C可以看到点G处，乙从点E可

以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到

地面的距离之差(结果精确到01米)

口Q

口

口

o口

□口

□口

□口

【解析】解：由题意得NABG=NCDG=90。,

又：/AGD为公共角，

.,.△ABG^ACDG,

.ABBG

''~CD~~DG'

：AB=5.5米，BG=10.5米，

.5.510.5

"CD-50+10.51

.♦.C63L69（米）

又•.•/ABD=/EFD=90。，/EDF为公共角,

.,.△ADB^AEDF,

.ABDB\

"~EF~~DF~2'

,.EF=2AB=11（米）

\CD-EF-20.7（米）

答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.

19.某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量.测量方法如下：如

图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B,且BD1DE,在点

E处竖直放一个木棒，其顶端为C,CE=1.72米，在DE