高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教A版选修2-3

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.3二项式定理习题课教案新人教A版选修2-3科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.3二项式定理习题课教案新人教A版选修2-3课程基本信息1.课程名称：高中数学——计数原理

2.教学年级和班级：高三年级1班

3.授课时间：2022年10月10日

4.教学时数：1课时（45分钟）

二、教学目标

1.理解二项式定理的概念和公式。

2.掌握二项式定理的运用方法。

3.能够运用二项式定理解决实际问题。

三、教学内容

1.回顾二项式定理的公式。

2.通过例题讲解二项式定理的运用方法。

3.学生练习，教师点评。

四、教学过程

1.导入：通过一个实际问题引入二项式定理的概念。

2.讲解：详细讲解二项式定理的公式及运用方法。

3.练习：学生做课后习题，教师巡回指导。

4.总结：对学生的练习进行点评，总结本节课的重点和难点。

五、作业布置

1.完成课后习题1-5。

2.准备下一节课的预习内容。

六、教学反思

1.课后对学生的反馈进行总结，对教学方法进行调整。

2.对课堂上的难点进行再次讲解，确保学生理解。

七、教学资源

1.课本《高中数学》选修2-3。

2.课后习题。

3.教学PPT。核心素养目标1.逻辑推理：通过学习二项式定理，培养学生从具体实例中抽象出数学规律，并运用逻辑推理能力证明其正确性。

2.数学建模：培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力，提高学生建立数学模型的素养。

3.数据分析：通过二项式定理的应用，培养学生分析数据、处理数据的能力，提高学生的数据分析素养。

4.数学运算：培养学生熟练运用二项式定理进行数学运算的能力，提高学生的数学运算素养。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在之前的课程中已经学习了函数、代数等基础知识，对幂的运算、组合数学有一定的了解，但二项式定理的应用可能还存在一定的困难。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科整体兴趣较高，部分学生对理论证明和逻辑推理能力较强，但也有一部分学生更擅长实际应用题目的解决。在学习风格上，有的学生喜欢通过自己动手实践来学习，有的学生则更偏好通过听讲和阅读来获取知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解二项式定理的概念和公式时，学生可能会遇到难以理解的部分，如组合数学中的组合公式。在运用二项式定理解决实际问题时，部分学生可能会对如何将实际问题转化为数学模型感到困惑。此外，对于逻辑推理和数学建模能力较弱的学生，证明二项式定理的正确性可能会是一个较大的挑战。教学方法与手段1.教学方法：

(1)引导发现法：教师通过提出问题，引导学生发现二项式定理的规律，激发学生的思考和探索兴趣。

(2)案例分析法：教师通过分析具体的实例，让学生理解二项式定理在实际问题中的应用，提高学生的应用能力。

(3)分组合作法：将学生分成小组，进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

2.教学手段：

(1)多媒体教学：利用PPT、动画等多媒体资源，生动展示二项式定理的推导过程，提高学生的学习兴趣。

(2)在线教学平台：利用在线教学平台，提供丰富的学习资源，方便学生随时随地学习，提高教学效果。

(3)数学软件辅助教学：运用数学软件，如Mathematica、MATLAB等，进行模拟和实验，增强学生对二项式定理的理解。

(4)课堂练习与反馈：通过课堂练习，及时了解学生的学习情况，针对性地进行指导和讲解。

(5)课后作业与辅导：布置合理的课后作业，巩固所学知识，提供课后辅导，帮助学生解决学习中遇到的问题。

(6)教学评价与反馈：定期进行教学评价，了解学生的学习进度和效果，及时调整教学方法和手段，提高教学质量。教学流程1.课前准备（5分钟）

教师提前准备好PPT、课后习题及相关的实际问题案例。同时，检查学生对前置知识的掌握情况，如函数、代数等基础知识，确保学生能够顺利地理解本节课的内容。

2.课堂导入（5分钟）

教师通过一个实际问题引出二项式定理，激发学生的学习兴趣。例如，抛硬币实验：一枚硬币抛掷两次，求正面向上的概率。引导学生发现这个问题可以通过二项式定理来解决，从而引入本节课的主题。

3.知识讲解（20分钟）

(1)教师引导学生回顾幂的运算、组合数学等基础知识，为学生学习二项式定理打下基础。

(2)教师讲解二项式定理的概念和公式，强调公式中各项的含义和关系。通过PPT展示二项式定理的推导过程，帮助学生理解。

(3)教师通过例题讲解二项式定理的运用方法，引导学生学会如何将实际问题转化为数学模型。例如，分析运动员比赛成绩、考试分数等实际问题，运用二项式定理进行求解。

4.课堂练习（5分钟）

学生独立完成课后习题1-5，教师巡回指导，及时解答学生遇到的问题。对于难度较大的题目，可以组织学生进行小组讨论，共同解决问题。

5.总结与点评（5分钟）

教师对学生的练习进行点评，总结本节课的重点和难点。强调二项式定理在实际问题中的应用，提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。

6.课后作业（课后自主完成）

学生完成课后习题6-10，深入理解二项式定理的运用。同时，鼓励学生自主探索更多的实际问题，运用二项式定理进行解决，提高自己的数学建模能力。

7.教学反思（课后）

教师对学生对本节课内容的理解程度进行反思，对教学方法进行调整。对于学生普遍存在的问题，可以在下一节课进行针对性讲解。同时，关注学生的学习进度和兴趣，不断优化教学手段，提高教学质量。

整个教学流程共计45分钟，通过以上设计，希望能够有效地帮助学生掌握二项式定理的知识，提高学生的数学素养。教学资源拓展一、拓展资源

1.数学杂志和期刊：如《数学学报》、《数学年刊》等，这些杂志和期刊发表了大量的计数原理和二项式定理的研究论文，有助于学生深入了解该领域的最新研究成果和应用。

2.在线课程和讲座：国内外知名高校和平台（如Coursera、MITOpenCourseWare等）提供了许多关于计数原理和二项式定理的课程和讲座，学生可以在线学习，拓宽视野。

3.数学竞赛题目：如国际数学奥林匹克（IMO）、中国数学奥林匹克（CMO）等竞赛中的题目，这些题目往往综合了计数原理和二项式定理的知识，具有较高的挑战性。

4.数学软件和工具：如Mathematica、MATLAB、Python等，这些软件和工具可以帮助学生进行数学模拟、计算和可视化，加深对二项式定理的理解。

二、拓展建议

1.学生可以阅读数学杂志和期刊，了解计数原理和二项式定理的最新研究进展，提高自己的学术素养。

2.学生可以参加在线课程和讲座，学习更多关于计数原理和二项式定理的知识，拓宽知识面。

3.学生可以尝试解决数学竞赛中的相关题目，提高自己的解题能力和思维水平。

4.学生可以利用数学软件和工具进行实践，例如，用Python编写程序验证二项式定理的公式，或者绘制二项式定理相关的图表，加深对知识的理解和应用。

5.学生可以进行小组讨论和合作，共同研究计数原理和二项式定理的难题，提高自己的合作能力和沟通能力。

6.学生可以参加数学研究小组或俱乐部，与志同道合的同学一起探索数学的奥秘，提高自己的研究能力和创新能力。板书设计1.知识点呈现

①二项式定理的定义及公式

②组合数学中的组合公式

③二项式定理的应用方法

④实际问题与二项式定理的关联

2.艺术性与趣味性

①使用图形、符号、色彩等元素，使板书更具视觉吸引力

②通过有趣的例子、生活场景等，将二项式定理应用于实际问题中，提高学生的学习兴趣

③设计有趣的练习题，巩固所学知识，激发学生的求知欲

4.逻辑性与条理性

①按照教学流程，分步骤呈现知识点，使学生易于理解和记忆

②使用清晰的线索，如箭头、编号等，展示知识点的逻辑关系

③板书设计要简洁明了，突出重点，便于学生抓住关键信息

二、板书设计示例

1.二项式定理的定义及公式

```

二项式定理：

(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n

```

2.组合数学中的组合公式

```

组合公式：

C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

```

3.二项式定理的应用方法

```

步骤1：确定二项式展开的系数

步骤2：计算各项的系数

步骤3：求和得到结果

```

4.实际问题与二项式定理的关联

```

实例1：抛硬币实验

实例2：运动员比赛成绩分析

实例3：考试分数分布

```作业布置与反馈1.作业布置

(1)巩固练习：完成课后习题1-5，巩固二项式定理的基本概念和公式。

(2)应用拓展：从生活中选取一个实际问题，运用二项式定理进行分析和解决，如体育比赛成绩分析、考试分数分布等。

(3)研究性学习：查阅相关资料，了解二项式定理在其它领域的应用，如物理学、化学等。

(4)创新性思维：尝试用二项式定理解决一个新的实际问题，可以是一个小组项目，也可以是个人研究。

2.作业反馈

(1)及时批改：教师在规定时间内及时批改学生的作业，给出明确的评价和反馈。

(2)问题指出：对于作业中出现的问题，教师要具体指出，如概念理解错误、计算失误等。

(3)改进建议：针对学生作业中的问题，给出具体的改进建议，如如何避免类似错误、提高解题效率等。

(4)鼓励与激励：对于作业完成优秀的学生，给予表扬和激励，提高学生的学习积极性。

(5)再次讲解：对于作业中普遍存在的问题，教师可以在课堂上进行再次讲解，以确保学生理解掌握。

(6)辅导与帮助：对于作业中遇到问题的学生，提供个别辅导，帮助学生解决问题。典型例题讲解1.例题1：验证二项式定理

(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n

答案：将a=1,b=1代入二项式定理公式，验证左侧与右侧是否相等。

2.例题2：计算二项式展开的系数

C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

答案：已知n=5,k=3，计算C(5,3)。

3.例题3：二项式定理在概率中的应用

一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的球颜色相同的概率。

答案：使用组合数计算，总的取球方式为C(8,2)，取两个红球的概率为C(5,2)/C(8,2)，取两个蓝球的概率为C(3,2)/C(8,2)，所以取出的球颜色相同的概率为(C(5,2)+C(3,2))/C(8,2)。

4.例题4：二项式定理在数列中的应用

已知数列{an}的通项公式为a_n=C(n,1)*x^n，求数列{an}的前n项和Sn。

答案：使用二项式定理计算，Sn=C(n,0)*