吉林省长春市绿园区长春市第八十九中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年吉林省长春八十九中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8题，每小题3分，共24分）1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不确定2．（3分）已知3x＝4y，则下面结论成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（3分）不透明的袋子里共装有3个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°（）A． B． C． D．5．（3分）当函数y＝（a﹣2）x2+bx+c是二次函数时，则a的取值范围为（）A．a＝2 B．a≠2 C．a＝﹣2 D．a≠﹣26．（3分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）7．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y28．（3分）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，则图中△BOC的面积为（）A．5 B．6 C． D．二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣＝．10．（3分）二次函数y＝x2﹣mx+1与y轴的交点坐标为．11．（3分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．12．（3分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后，所得新抛物线相应的函数表达式是13．（3分）二次函数y＝5x2+6x+7，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB＝4．三、解答题（共78分）15．（6分）解方程：2x2+x﹣6＝0．16．（8分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上（图案为吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片分别记为A、B、C）．（1）若从中任意抽取一张，抽到卡片上的图案恰好为“莲莲”是．A．不可能事件B．随机事件C．必然事件D．确定事件（2）若先从中随机抽取一张卡片记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表），求抽到的两张卡片图案不同的概率．17．（7分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）在图1中，在边AC上取一点D，作出△ABC的中线BD；（2）在图2中，在边AC上取一点E，使得AE＝；（3）在图3中，在线段AC上取一点M，在线段AB上取一点N△AMN＝．18．（7分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．19．（7分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数），经过点（2，6）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若y随x的增大而减小，则x的取值范围为．（3）若该函数图象上的点M（﹣3，y1），N（x2，y2），当y2＞y1时，直接写出x2的取值范围为．21．（8分）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边DC上，∠ABD＝∠FBE，∠FEB＝∠C．（1）求证：△EFB∽△ADB．（2）若DE＝5，EC＝3，BD＝6．23．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A，直线AB的解析式为y2＝mx+n．（1）顶点的坐标为．（2）方程a（x﹣h）2+k＝0的两个解分别为．（3）当y1＞y2时，x的取值范围是．（4）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，点D是线段AC的中点，沿A﹣D﹣B﹣C向终点C运动，速度为5cm/s，B重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E（s），△APE的面积为S（cm2）．（1）求AB的长；（2）当点P在线段BD上时，求PE的长（用含t的式子表示）；（3）当P沿A﹣D﹣B运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．

2024-2025学年吉林省长春八十九中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每小题3分，共24分）1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不确定【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝5＞0，进而即可得出原方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣3×1×（﹣1）＝2＞0，∴方程x2﹣x﹣3＝0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．（3分）已知3x＝4y，则下面结论成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．【解答】解：A、由＝得7x＝4y；B、由＝得xy＝12；C、由＝得5x＝3y；D、由＝得4x＝3y；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．3．（3分）不透明的袋子里共装有3个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．【分析】直接利用概率公式解答即可．【解答】解：∵共9个球，其中6个白球，∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率是．故选：C．【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°（）A． B． C． D．【分析】根据正切的定义解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tanA＝．故选：C．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．5．（3分）当函数y＝（a﹣2）x2+bx+c是二次函数时，则a的取值范围为（）A．a＝2 B．a≠2 C．a＝﹣2 D．a≠﹣2【分析】根据二次函数的定义解答即可；【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，即a≠5，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．6．（3分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．7．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）8+c﹣2．∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．∴当x＜8时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣8，y2），（，y3），﹣4＜﹣3＜，∴y4＞y2＞y3，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．8．（3分）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，则图中△BOC的面积为（）A．5 B．6 C． D．【分析】根据相似三角形的判定与性质求出S△AOD＝S△BOC，再根据三角形面积公式求出S△AOD+S△BOD＝4，S△BOC+S△BOD＝8，两式相减求解即可．【解答】解：根据题意得，AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∴＝＝＝，∴S△AOD＝S△BOC，∵S△AOD+S△BOD＝S△ABD＝AD•BD＝，S△BOC+S△BOD＝S△BCD＝BC•BD＝，∴S△BOC﹣S△AOD＝4，∴S△BOC＝4，∴S△BOC＝，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣＝．【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可．【解答】解：﹣＝×﹣＝8﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．10．（3分）二次函数y＝x2﹣mx+1与y轴的交点坐标为（0，1）．【分析】求出当x＝0时y的值即可得．【解答】解：令x＝0，则y＝1，5），故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的坐标特点．11．（3分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）8＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．12．（3分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后，所得新抛物线相应的函数表达式是y＝（x+3）2+5【分析】根据函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+6，∴沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后5+2+3，即y＝（x+4）2+5．故答案为：y＝（x+3）2+5．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．13．（3分）二次函数y＝5x2+6x+7，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为7．【分析】根据二次函数的对称性求出x1+x2，然后代入函数解析式计算即可得解．【解答】解：∵x取x1，x2（x6≠x2）时，函数值都相等，∴x1+x2＝2×（﹣）＝﹣，∴x取x1+x2时，函数值y＝5×（﹣）2+6×（﹣）+7＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，难点在于利用二次函数的对称性求出x1+x2的值．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB＝41．【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【解答】解：∵AB∥x轴，y＝﹣（x﹣h）2+5，∴A、B关于对称轴x＝h对称，∴yA＝yB，∵AB＝4，∴，∴＝﹣4+5＝7，∴yB＝yA＝1，∴B到x轴的距离为1，故答案为：8．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答．三、解答题（共78分）15．（6分）解方程：2x2+x﹣6＝0．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：分解因式得：（2x﹣3）（x+8）＝0，可得2x﹣7＝0或x+2＝5，解得：x1＝1.5，x2＝﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．（8分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上（图案为吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片分别记为A、B、C）．（1）若从中任意抽取一张，抽到卡片上的图案恰好为“莲莲”是B．A．不可能事件B．随机事件C．必然事件D．确定事件（2）若先从中随机抽取一张卡片记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表），求抽到的两张卡片图案不同的概率．【分析】（1）直接由事件分类求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，故选：B；（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，∴两次抽取的卡片图案不相同的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法，随机事件，概率公式，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（7分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）在图1中，在边AC上取一点D，作出△ABC的中线BD；（2）在图2中，在边AC上取一点E，使得AE＝；（3）在图3中，在线段AC上取一点M，在线段AB上取一点N△AMN＝．【分析】（1）根据网格线的特征中线的定义作图；（2）根据网格线的特征作图；（3）根据网格线的特征和相似三角形的性质作图．【解答】解：（1）如图，BD即为中线；（2）如图，，点E；（3）如图3和3，在线段AC上取一点M，连结MN使得；如图2，可得△AMN∽△ACB，∴；如图4，可得△AMN∽△ABC，∴．    【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、勾股定理，中线的定义及相似三角形的性质是解题的关键．18．（7分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是56（1﹣x），第二次后的价格是56（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：56（1﹣x）2＝31.7，解得：x1＝0.25，x2＝1.75，经检验x2＝2.75不符合题意，则x＝0.25＝25%．答：每次降价百分率为25%．【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．19．（7分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．【分析】把（0，﹣3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y＝0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣4）和（2，∴，解得 ，抛物线的解析式为y＝﹣x2+7x﹣3，令y＝0，得﹣x4+4x﹣3＝3，即 x2﹣4x+8＝0，∴x1＝6，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），0）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数），经过点（2，6）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若y随x的增大而减小，则x的取值范围为x＜﹣1．（3）若该函数图象上的点M（﹣3，y1），N（x2，y2），当y2＞y1时，直接写出x2的取值范围为x2＜﹣3或x2＞1．【分析】（1）将点（2，6）代入抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）之中，求出a的值即可得出抛物线的解析式；（2）由y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3得该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，开口向上即可得出答案；（3）先求出点M的坐标为（﹣3，1），再求出点M关于直线x＝1的对称点P的坐标为（1，1），由此即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax+6a（a为常数），经过点（2，∴23﹣2a×2+2a＝6，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝x8+2x﹣2；（2）∵y＝x2+2x﹣2＝（x+6）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），如图所示： 又∵该抛物线的开口向上，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；故答案为：x＜﹣2；（3）对于y＝x2+2x﹣8，当x＝﹣3时，∴点M的坐标为（﹣3，4）1＝1，∴点M关于直线x＝6的对称点P的坐标为（1，1），∴当y3＞y1时，x2＜﹣4或x2＞1．故答案为：x4＜﹣3或x2＞7．【点评】此题主要考查了二次函数及其性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，理解二次函数的性质是解决问题的关键．21．（8分）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【解答】解：y＝x7﹣4x+5＝（x﹣4）2﹣3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，﹣6）．【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边DC上，∠ABD＝∠FBE，∠FEB＝∠C．（1）求证：△EFB∽△ADB．（2）若DE＝5，EC＝3，BD＝6．【分析】（1）利用平行四边形的对角相等可得∠A＝∠C，再根据已知条件易得∠FEB＝∠A，然后结合∠FBE＝∠DBA，根据两个角对应相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据平行四边形的对边平行且相等易得AB∥CD，AB＝CD，再由两直线平行，内错角相等并结合已知条件可得∠BDE＝∠FBE，然后根据等角对等边可求得BE的长度，再结合已知条件利用线段的和差求得AB的长度，根据相似三角形的对应边成比例可求得BF的长度，最后利用线段的和差即可求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠FEB＝∠C，∴∠FEB＝∠A，∵∠FBE＝∠DBA，∴△EFB∽△ADB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BDE＝∠ABD，∵∠ABD＝∠FBE，∴∠BDE＝∠FBE，∴BE＝DE，∵DE＝5，∴BE＝5，∵EC＝4，∴AB＝CD＝EC+DE＝3+5＝7，∵△EFB∽△ADB，∴，∵BD＝6，∴，∴，∴，故答案为：．【点评】该题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．23．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A，直线AB的解析式为y2＝mx+n．（1）顶点的坐标为（1，4）．（2）方程a（x﹣h）2+k＝0的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝3．（3）当y1＞y2时，x的取值范围是0≤x＜3．（4）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是﹣5＜y1＜4．【分析】（1）由图可知抛物线的顶点坐标为（1，4），即h＝1，k＝4，然后将抛物线上的点A（3，0）代入即可求出a的值，进而根据顶点式求得顶点坐标，即可求解；（2）对于抛物线的解析式，令y1＝0，求出x的值，即可求解；（3）观察图形，由数形结合即可得出答案；（4）根据﹣2＜x＜2，观察抛物线求出y1的最大值与当x＝﹣2时的函数值，即可得出答案．【解答】解：（1）观察抛物线图象可知：抛物线的顶点为（1，4）即h＝5，∴，又抛物线与x轴交于点A（3，6），∴0＝a（3﹣5）2+4，∴a＝﹣8，故抛物线的解析式为：；所以顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，4）．（2）当y3＝0时，﹣（x﹣1）6+4＝0，解得：x4＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x4＝3．（3）由 y1＞y5可知，抛物线的图象在直线的图象的上方，∴0≤x＜3；故答案为：2≤x＜3；（4）∵，﹣7＜x＜2，∴当x＝1时，y2的最大值为4；当x＝﹣2时，，∴y4的取值的范围为：﹣5＜y1≤2；故答案为：﹣5＜y1≤4．【点评】此题考查了