第2章分子动理论2(玻耳兹曼分布-范氏气体-自由程)-741303594

12.4玻耳兹曼分布保守场中粒子按势能的分布一.麦克斯韦速度分布率二.玻耳兹曼分布函数三.玻耳兹曼粒子按势能的分布2一.麦克斯韦速度分布速度分布函数定义式为间隔内各种速度均有3速度空间各个方向等几率分布，因此而因此可以猜测怎么定系数？4与分子动能相连速度分布因子麦克斯韦速率分布率5

若分子速度的大小被限制在v

v+dv内，方向可以任意，这些分子的速度矢量端点都在半径为v,厚度为dv的球壳内。由于在平衡态时分子速度的方向是均匀分布的，取球壳的体积4

v2dv作为体积元,有讨论：可得∴有6单位时间、单位面积上的分子碰壁数

小柱体dAvxdtx器壁n各种速度方向、大小的分子都有，怎么办？用小柱体法！

作如图的小柱体，处于小柱体内的，是速度基本上为的分子，它们都能在dt时间内碰到面积

dA上

先看对速度为的分子按速度空间来看，应对速度空间积分7

小柱体内的分子数为n

vxdtdA

如图小柱体内，速度在附近，速度空间体积元dvxdvydvz内的分子数是小柱体dAvxdtx器壁n它们都能在dt时间内碰到面积

dA上

我们应考虑以dA为底的各种各样的小柱体，而且要考虑到有个分布在速度空间附近麦氏速度分布函数：单位体积内的分子数占总分子数的比率这就要用到麦克斯韦速度分布函数

:8小柱体dAvxdtx器壁n把各种方向大小的(vxvyvz)分子都考虑进来，就要积分：单位

时间里打到单位面积上的总分子数为（x,y,z）9积分公式：（x,y,z）=

10单位时间、单位面积上的分子碰壁数

化简一下11

p0V

Ap外T求：【解】设t时刻容器内分子数为N，则：例.如图所示，已知：p0>>p外，体积V，T保持不变，小孔面积

A按麦氏分布的，N12积分：得：例如对氧

气，设V=103cm3，

t=62.3s则计算得：T=300K时，

A=0.1mm2温度相同时,13应用举例：扩散法分离同位素

生产核武器时，235U浓度需高达90%天然铀235U的丰度为0.71%因为金属U要在2500K以上才能成为铀蒸汽所以采用在室温下具有高蒸汽压的U化合物UF6

分离238UF6（质量m238）和235UF6（质量m235）：假如和相同，多孔膜真空同位素混合气n235n23814

“分离系数”：经计算要使235U浓度达90%，级联数为1131,这需要占用大量的厂房，消耗大量的电力。让新比例的同位素混合气向下一级真空室扩散，又可以使235U的比例增大。………多级扩散器15麦克斯韦速率分布律的实验验证1920.Stern实验

1934.葛正权实验

1955.Milletandkusch实验葛正权实验O---铋蒸气源,

温度为TS1,S2,S3---狭缝Q---圆筒,转速可达

500转/秒G---玻璃薄板16实验的物理思想:

设速率为v

的分子沉积在P’处,

飞行时间一定的S

值相应于一定的分子速率

v弧长PP’

=S17实验中,圆筒转动约十几小时;用测微光度计测定薄玻璃板上各处分子的沉积厚度分子的沉积厚度随S的变化关系实验结果：符合麦克斯韦速率分布率分子数与速率的关系18二.玻耳兹曼分布函数玻耳兹曼把麦氏速度分布推广到理想气体处在保守力场的情形。19在坐标附近单位坐标间隔内速度附近单位速度间隔内分子数占总分子数的百分比物理含义？20区间内分子数分布于单位体积内的分子数三.玻耳兹曼粒子按势能的分布21重力场中粒子按重力势能分布22高度计的原理：式中

P0=n0kT为地面处的压强，此式假设了高处与低处的温度T

相同所以上式称为恒温气压公式可以从气压计上气压的读数P

知道离地面的高度

h23任何物质微粒(气体、液、固体分子、原子、布朗粒子等)在任何保守场(重力场、静电场--)中运动性形均相同愈小粒子数愈多原子中粒子数按能级的分布基态粒子数最多242.5气体分子的平均自由程一.平均碰撞频率二.真空的概念25发难：荷兰化学家巴洛特---扩散与矛盾分子运动论的佯谬解释：粒子走了一条艰难曲折的路26平均自由程平均碰撞频率描述的物理量是27一.平均碰撞频率典型的推导必要的假设：1)同种分子分子有效直径2)弹性碰撞3)一个分子动其余不动平均来看相对运动速度为2829推导：跟踪a分子平均碰撞频率——一个分子一秒钟被碰的次数碰撞截面3031令3233二.真空的概念理论公式表明34但容器的线度l<<实际分子的平均自由程就是容器的线度l与压强无关微观上的真空时35例1标况下平均碰撞频率和平均自由程解:36例2直径5厘米的容器内部充满氮气真空度10-3Pa

求:常温(293K)下平均自由程的理论计算值解：37>>容器线度5厘米382.6范德瓦耳斯方程一.范氏气体模型二.真实气体的状态方程三.范氏气体等温线与真实气体等温线39真实气体问题解决问题的基本思路：真实气体用理想气体模型有两个明显缺陷:

理想气体忽略了分子本身的体积（即忽略了分子间的斥力）理想气体忽略了分子间的引力必须建新的模型

从物理上审视理想气体模型→结果→与实际比较分子力：t=47~s=915~引力斥力力分子斥力引力rfo

分子间在距离较近时表现为斥力距离较远时表现为引力一.范德瓦耳斯气体模型41范氏微观简化模型：

（1）分子是直径为d（~10-10m）的刚性小球;dsrfO范氏气体模型（2）在d–s

范围内分子间有恒定吸引力。有引力的分子刚球模型s称为分子作用球半径。当分子碰撞时才反映出排斥力。sr0r合力斥力引力dfO10-9m分子力42二.真实气体的状态方程1mol理气状态方程理气分子活动的空间实际测量值431mol

气体分子的空间体积为=分子本身体积之和BA1.斥力引起对活动空间的修正一对分子空间体积为44引入一个因子b

修正理气方程中的实测与分子种类有关完成了第一步的修正1mol理气状态方程452.考虑分子间引力引起的修正理气P--分子碰壁的平均作用力动量定理真实气体βpia理气压强实测压强为什么不考虑器壁和分子之间的吸引力？46

并不影响气体对器壁的压强

考虑器壁的吸引力后分子给器壁的冲量一览表关键:在器壁吸引分子的同时，气体分子也吸引器壁

飞向器壁的过程中弹性碰撞的过程中

飞离器壁的过程中总计分子同样大小的动量增加分子同样大小的动量减小由于动量增加多出来的冲量47修正为内压强基本完成了第二步的修正由于分子之间存在引力而造成对器壁压强减少481)与碰壁的分子数成正比2)与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比即写成内压强49与分子的种类有关需实际测量1mol范氏气体状态方程为与分子有关的修正因子查表对CO2：a=3.64

10-1

米6

帕/摩尔2，b=4.36米3/摩尔50任意摩尔数的范氏气体方程范德瓦尔斯(1837-1923)

荷兰人范德瓦耳斯由于在研究气态和液态方程方面的贡献,

获1910年诺贝尔物理学奖。51数据：1摩尔氮气在T=273K时的数据：这表明范氏方程适用性更大实

验

值计

算

值p(atm)v（l）pv(latm)l)(atm))((2.-+bapvv122.4122.4122.411000.222422.2422.405000.0623531.1722.677000.0532537.2722.659000.0482543.4022.410000.046446.422.0.CO等温压缩实验2pVO三.范氏气体的等温线和真实气体的等温线真实气体的等温线压强计.v(10-3m3.kg-1)k2.1773.231.10C210C130Cp/×105Pa45.5o比容压强48.10C气汽液共存液CO2

等温线临界点48C13C00CPVo临界点范德瓦尔斯等温线和真实气体等温线的比较´AA..过饱和蒸汽（云室）过热液体（气泡室）不可能实现范氏气体能较好地描述真实气体AA´BB´AB´´B.B.´55相图与水的三相点物质的汽、液、固三相的变化，是在一定的温度（T）和压强(P)下发生的相图常以P-T图的形式画出:这时等温线是一条垂直线相变时体积会发生变化，同时有一定的热量吸入或放出。56前面OK段汽液共存的状态（压强不变）只是一个点，这个点相应的压强就是饱和蒸汽压。

不同温度T1,T2,TK有不同的饱和蒸汽压。

汽液共存点构成的曲线（OK）上方为液相，下方为汽相。OK线称为汽化线。

同理，通过O点有另外两条相变曲线称为熔解线，升华线。O称为三相点。57可以看出，水的三相点相应于确定的压强和温度，是唯一的（为什么）。它不象水的冰点（二相点）和沸点（二相点）,随压强而改变。（它们只是在1大气压下才是0oC,

和100oC,）它被取作国际公认的温度标准。58范氏气体内能理想气体：分子动能考虑1mol气体范氏气体：除分子动能外，还有势能Ep(v)。势能多大？例.设分子间距为无限大时分子之间的势能为零，即气体体积为无限大时气体的势能为零证明1mol范氏气体的内能为：59【证】范氏气体由于分子力的存在，靠活塞处分子受向内的力，(内压强为Pi)分子力是保守力，保守力的功与系统势能的关系为

piVSdl1mol60

1mol范氏气体：证毕当气体体积增大，活塞右移时，活塞处气体分子也向右移动，受的保守引力作负功，或Pi

作负功：612.7输运过程三种基本输运过程：内摩擦，热传导，扩散。当流体内各部分流动速度不同时，就有内摩擦（或粘滞）现象。宏观性质不均匀的非平衡态在不受外界的影响下由于分子的热运动和分子之间的碰撞宏观性质均匀的平衡态一.内摩擦62设两个大平板之间装有流体，下板静止，上板沿x方向匀速运动。板间流体都被带动，但是各层流体的定向运动速度不同，存在流速梯度。流体设在zo处,面积dS的上层对下层的内摩擦力

(或粘滞力)为;下层对上层的内摩擦力为其反作用力。

63宏观实验规律：

内摩擦系数(或粘滞系数),

与流体的性质和状态有关,

可以实验测定。测定

的实验装置简图：A筒保持一定的转速，B筒相应地偏转一定的角度（可由小镜反射的光线测得）；小镜ABC64从微观分子动理论推导得（见后面）：悬丝的扭转系数和B筒的半径都是已知的，可算出内摩擦力；小镜ABC速度梯度和面积也可以直接测得；于是，从公式可以算出内摩擦系数

。与实验基本符合。65从分子运动角度看内摩擦现象：从分子运动看,各层流体的流速不同,是在各层分子无规则热运动之上加上去的定向运动的速度不同。由于热运动,下层的分子跑到上层时带去较小的定向动量;上层的分子跑到下层时带去较大的定向动量,下层的定向动量增大,所以宏观上看等于下层受到了指向前方的内摩擦力。66内摩擦现象的微观本质是：分子在无序的热运动中输运定向动量的过程简化模型:(1)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，并且单位体积中各有的分子沿+z,-z方向运动。下面近似地推导关系式：微观本质:67

这样,在dt时间内,从

dS一侧跑到另一侧的分子数为（2）假设分子越过

dS面之前都是在离dS面距离约为平均自由程处发生最后一次碰撞的而且它们带过来的定向动量，就是在那里的定向动量……

“一次同化论”假设68

分子由上到下携带的动量是;

分子由下到上携带的动量是.

因此,在dt时间内,

在dS下方的流体层净增加的定向动量为69由牛Ⅱ,dS下方的流体层相应受到的内摩擦力就是因为定向运动动量为p=mu70二.热传导宏观实验规律：在dt时间内，通过x0

处dS面，沿+x

方向传递的热量为当流体内各部分温度不同时，就有热传导现象。71说明：(1)负号的意义：热量总是由高温处传向低温处。

若dx=x2-x1>0,dT=T2-T1>0,

则dQ<0-----表示向-x方向传热；(2)导热系数

：与流体的性质和状态有关,可以实验测定，也可以理论推导得（不要求）式中Cv——定容比热72实验指出：

一般与压强P无关；

但在压强很低时

随压强p的减小而减小（例如，暖水瓶胆）。理论上如何解释

73

理论上解释：所以

一般与P无关。

但是在压强P很低时，，

所以

就与P有关了：