2025版新教材高考数学一轮复习课时规范练54离散型随机变量的数字特征含解析新人教A版

课时规范练54离散型随机变量的数字特征基础巩固组1.设随机变量X的分布列如下:X0123P0.1α0.30.4则方差D(X)=()A.0 B.1 C.2 D.32.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形态完全相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为()A.13 B.23 C.2 D3.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,则D(3Y+1)=(A.2 B.3 C.6 D.74.随机变量ξ的分布列如下表,则p在(0,0.5)上增大时,D(ξ)的改变状况是()ξ1234Pp0.5-p0.5-ppA.始终增大 B.始终减小C.先增大后减小 D.先减小后增大5.(多选)(2024山东招远高三检测)袋内有形态、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则下列说法正确的是()A.抽取2次后停止取球的概率为3B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为9C.取球次数ξ的期望为2D.取球次数ξ的方差为96.某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23,假如甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(A.3 B.83C.2 D.57.已知5台机器中有2台存在故障,现须要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元,则所需检测费的均值为()A.3200 B.3400 C.3500 D.36008.(2024山东德州高三期末)随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)=.

9.(2024浙江学军中学高三月考)已知随机变量X听从二项分布B(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,则p=,P(X=1)=.

10.已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后马上放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).综合提升组11.(多选)(2024江苏徐州高三调研)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a2+a3+a4+a5,则下列说法正确的是(A.X听从二项分布 B.P(X=1)=881C.X的期望E(X)=83D.X的方差D(X)=812.(2024海南三亚高三检测)一个袋中放有大小、形态均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则下列式子正确的是()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)13.(多选)已知随机变量ξ的分布列是ξ-101P11p随机变量η的分布列是η123P11p则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是()A.E(ξ)=E(η) B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大 D.D(η)先增大后减小14.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为64个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.4532 B.54 C.32创新应用组15.一个不透亮袋中放有大小、形态均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再其次次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=.

16.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司送餐员的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望E(X);②小王准备到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,假如仅从日平均工资的角度考虑,请利用所学的统计学学问为小王作出选择,并说明理由.参考答案课时规范练54离散型随机变量的数字特征1.Ba=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故选B.2.D因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形态完全相同的小球,从中任取2个,所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3,所以P(X=2)=1C32=13,P(X=3)=C21C11C3.C∵随机变量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得p=13,p=53舍去,∴D(Y)=3×13×23=23,∴D(3Y+4.A由题意可得E(ξ)=1×p+2×(0.5-p)+3×(0.5-p)+4×p=2.5,D(ξ)=(1-2.5)2×p+(2-2.5)2×(0.5-p)+(3-2.5)2×(0.5-p)+(4-2.5)2×p=4p+14,则D(ξ)在(0,0.5)上单调递增,故p在(0,0.5)上增大时,D(ξ)的改变状况是始终增大故选A.5.BD设取球次数为ξ,可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的期望为E(ξ)=1×36.B在一轮投篮中,甲通过的概率为P=2×13×23+23×23=89,未通过的概率为19.X听从二项分布7.C设检测的机器的台数为x,则x的全部可能取值为2,3,4.P(x=2)=A22A52=110,P(x=3)=A21C31A22+A33A53=310,P(x=4)=C218.1设P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8,可得出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)2×0.2+(x-0.2)2×(0.8-x)+(x-1.2)2×x=0.4,解得x=0.2,x=1.2舍去.因此,E(X)=0.2+0.8=1.9.132562187因为随机变量X听从二项分布B(n,p),若E(X)=3,D则np=3,np(1-p)=2,解得pP(X=1)=C10.解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事务A,则事务A包含事务“3个球中有2个红球”和事务“3个球中有2个黄球”,由古典概型的概率公式和互斥事务的概率加法公式得P(A)=C答:取出的2个球颜色相同的概率为13(2)盒中逐一取球,取后马上放回,每次取到黄球的概率为13,记“取4次恰有3次黄球”为事务B,则P(B)=答:取4次恰有3次黄球的概率为8(3)X的可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=A2P(X=3)=C2P(X=4)=C2P(X=5)=C2P(X=6)=C2所以随机变量X的分布列为X23456P12141所以,随机变量X的数学期望为E(X)=2×115+3×215+4×1511.ABC由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0或1,且每个数位上的数字在填时互不影响,故A中后4位的全部结果有4类:①后4个数位上都出现0,X=0,记其概率为P(X=0)=134=181;②后4个数位只出现1个1,X=1,记其概率为P(X=1)=C4123133=881;③后4位数位出现2个1,X=2,记其概率为P(X=2)=C42232132=2481;④后4个数位上出现3个1,记其概率为P(X=3)=C4323313=3281;⑤后4个数位都出现1,X=4,记其概率为P(X=4)=234=1681.故X~B4,23,∵X~B4,23,∴X的方差D(X)=4×23×13=12.Bξ1可能的取值为0,1,2;ξ2可能的取值为0,1,P(ξ1=0)=49,P(ξ1=2)=19,P(ξ1=1)=1-49-19=49,故E(ξ1)=23,D(ξ1)=0-232×49+1-232×49+2-232×19=49.P(ξ2=0)=2×13×2=13,P(ξ2=1)=2×1×23×2=23,故E(ξ2)=23,D(ξ2)=0-23213.BC对于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D(ξ)=D(η),故B正确;对于C,∵E(ξ)=-12+12p,∴当p在(0,1)内增大时,E(ξ)增大,故C正确;对于D,∵E(η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D(η)=-12-p22×12+12-p221-p2+32-p214.C由题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=2×P(X=1)=2×P(X=2)=2×P(X=3)=864=18,所以E(X)=0×18+1×38+15.6576P(ξ1=0)=C2P(ξ1=1)=C3P(ξ1=2)=C3所以E(ξ1)=1×1225+2ξ2可取值为0,1,2,P(ξ2=0)=C21C21C51C6P(ξ2=2)=C3所以E(ξ2)=1×1730+16.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事务M,则P(M)=C(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a,当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254