2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.23四种命题四种命题间的相互关系限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE第一章1.11.1.21.1.3基础练习1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】A【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.故选A．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b【答案】D【解析】原命题的条件是a＝－b，结论是|a|＝|b|，所以逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b.3．命题“若m＝10，则m2＝100”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，是真命题的是()A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题【答案】C【解析】因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．4．命题“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”的逆否命题是()A．若x≠1，则x2－3x＋2≠0 B．若x2－3x＋2＝0，则x＝1C．若x2－3x＋2＝0，则x≠1 D．若x2－3x＋2≠0，则x≠1【答案】D【解析】将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠1.故选D．5．给出下列四个论断：①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；④ab是非正数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是________.【答案】若a是正数且a＋b是负数，则b是负数【解析】命题“若a是正数且a＋b是负数，则b是负数”为真，其逆否命题也为真．6．已知x，y∈R，命题“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是________命题(填“真”或“假”)．【答案】真【解析】命题的逆否命题为“若x≥2且y≥9，则xy≥18”．“若x≥2且y≥9，则xy≥18”成立，即命题的逆否命题为真命题，则“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是真命题．7．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题．解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．8．已知a，b，c∈R，求证：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于eq\f(1,3).证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c≥1.由条件a≥eq\f(1,3)，b≥eq\f(1,3)，c≥eq\f(1,3)，三式相加得a＋b＋c≥1.明显逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于eq\f(1,3).实力提升9．在命题“若x＋2y＝9，则x＝3且y＝3”及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】由题可知原命题是假命题，逆命题是真命题，依据互为逆否命题的两个命题真假性相同可知否命题为真命题，逆否命题为假命题．故真命题的个数为2.10．(2024年湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax－4，若命题“函数f(x)与g(x)的图象没有公共点”为真命题，则实数a的取值范围为()A．[－2,6] B．(－2,6)C．[－6,2] D．(－6,2)【答案】D【解析】令x2－2x＝ax－4，即x2－(a＋2)x＋4＝0，由题意得Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－6<a<2.故选D．11．以下关于命题的说法正确的有________(填序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．【答案】②④【解析】对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，∴函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，①不正确．对于②，依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确．对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但1和3均为奇数，故③不正确．对于④，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”互为逆否命题，因此二者等价，∴④正确．综上，正确的说法有②④.12．命题：已知数列{an}，{bn}是两个公比分别为p，q的等比数列，当p≠q时，数列{an＋bn}不是等比数列．推断此命题的真假．解：此命题的逆否命题：已知数列{an}，{bn}是两个公比分别为p，q的等比数列，若{an＋bn}是等比数列，则p＝q.这是一个真命题