全国I卷2025届高三数学下学期5月押题卷理

PAGEPAGE18（全国I卷）2025届高三数学下学期5月押题卷理留意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．2．已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．已知向量，，且，则（）A．2 B． C． D．35．函数的图象大致是（）A． B．C． D．6．已知，，则“”是“”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，且，，则C．若，且，则D．若，，则8．已知直线与圆相交于两点，且这两点关于直线对称，则的值分别为（）A． B． C． D．9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．在体积为8的正方体内部随意取一点，能使四棱锥，，，，，的体积大于的概率为（）A． B． C． D．11．已知函数（）的值域为，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的绽开式中的系数为________．14．若函数的值域为，试确定的取值范围是_________．15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列满意，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．18．（12分）某市为提高市民的平安意识，组织了一场学问竞赛，已知竞赛共有2000位市民报名参与，其中男性1200人，现从参赛的市民当中实行分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，依据调查结果发觉分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采纳分层抽样的方式从分数落在，内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量，求的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并推断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计（参考公式：，期中）19．（12分）如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在其次象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．21．（12分）已知函数．试探讨函数的零点个数；设，为函数的两个零点，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程和直线的一般方程；（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满意，求的最小值．答案解析1.【答案】A【解析】集合，故其真子集的个数为个，故选A．2.【答案】B【解析】，因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，故选B．3.【答案】A【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，解得，故选A．4.【答案】D【解析】由，因为，所以，所以，故选D．5.【答案】B【解析】，令，则，故为上的奇函数，故的图象关于对称，故解除C；又当时，令，则，故，故当时，，故解除D；而，故解除A，故选B．6.【答案】A【解析】表示顶点分别为的椭圆上及椭圆内部区域内的点，表示顶点的菱形上以及菱形内部区域内的点，故可得是的充分不必要条件，故选A．7.【答案】C【解析】A选项，当，，时，不能得出，故该选项不正确；B选项，由题得或相交，所以该选项错误；C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；D选项，，时，，，不能得出，故该选项错误，故选C．8.【答案】B【解析】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，∴直线经过圆心且直线与直线垂直，∴，解得，故选B．9.【答案】C【解析】由，有，解得，，，可化为，有，有，得，又由，有，故选C．10.【答案】D【解析】作与正方体每个面平行且距离为的截面，从而可以在正方体内部得到一个小的正方体，由题意可得当点落在小正方体内部时，能使四棱锥，，，，，的体积大于，依据几何概型概率公式知，故选D．11.【答案】D【解析】因为（其中）．令，，因为，所以．因为，且，所以，，故，即．当时，单调递减，因为，，所以，故选D．12.【答案】B【解析】设，，则，由余弦定理得，即，所以，因为，所以，整理得，即，整理得，所以，，，故选B．13.【答案】27【解析】由，所以的系数为27，故答案为27．14.【答案】【解析】令，则；令，解得或，即或，解得或，故的取值范围是．15.【答案】6【解析】因为，所以，即，所以可得，所以，解得，当且仅当时等号成立，故，所以的周长的最大值为6．16.【答案】【解析】因为；易得为奇函数，且为增函数；又因为，所以在上恒成立在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，设，所以，且，当时，，所以在上递增，所以，满意；当时，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，这与冲突，所以不满意，综上可知，故答案为．17.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）依题，在两边同时除以，得，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）得，可得，所以，则数列的前项和，所以，令①，则②，由①—②可得，所以，所以．18.【答案】（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）分布列见解析，期望为；（3）填表见解析，有的把握认为．【解析】（1）由题意知，解得，样本平均数为，中位数650，众数600．（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，随机变量的全部可能取值有0，1，2，3．，所以随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望．（3）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生105060女生152540合计2575100，所以有的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．19.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：连接BD，依题可得，，∴，∴，又四边形EDCF为矩形，平面平面，∴平面，∴，∵，∴平面，∴平面平面．（2）取中点G，连接．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，，不妨设，，则，；设平面的一个法向量为，，不妨设，则，，，设向量与的夹角为，则，，∴二面角的余弦值为．20.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】依题可知，，所以，即，解得①又椭圆过点，②，联立①②可得，，椭圆的标准方程为．（2）设点、，，由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，联立，可得，由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，由韦达定理可得，，，，，得，，，，．21.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；当时，，所以当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，没有零点．（2）由题意可得函数的定义域为，，设，所以，所以函数在上单调递增，又，列表如下：x10微小值所以函数在上单调递减，在上单调递增，设，可得，，因为，所以，设函数，则，函数在上单调递增，所以，所以，即，又函数在上单调递减，所以，所以．22.【答案】（1），；（2）．【