2024-2025学年高中数学第二章统计2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关学案含解析新人教版必修3

PAGE2．3变量间的相关关系2．3.1变量间的相关关系2．3.2两个变量的线性相关内容标准学科素养1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图推断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求回来直线方程.4.相关关系与函数关系.提升数学运算发展数据分析应用数学建模授课提示：对应学生用书第40页[基础相识]学问点一变量间的相关关系预习教材P84，思索并完成以下问题在学校里，老师对学生常常这样说：“假如你的数学成果好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”依据这种说法，好像学生的物理成果与数学成果之间存在着某种关系．(1)当一个变量的取值肯定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎样的关系？提示：这两个变量是一个函数关系．(2)商品销售收入与广告支出经费是一种函数关系吗？提示：不是函数关系．因为当其中一个变量改变时，另一个变量的改变还受其它因素的影响．学问梳理假如两个变量中一个变量的取值肯定时，另一个变量的取值带有肯定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．学问点二散点图预习教材P85－86，思索并完成以下问题在一次对人体脂肪含量和年龄关系的探讨中，探讨人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6(1)视察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样改变？提示：随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也有所增加．(2)以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？提示：学问梳理1.散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以推断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．2．正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．学问点三回来直线方程预习教材P87－91，思索并完成以下问题在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中点的分布有肯定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中点的分布有什么特点？提示：这些点大致分布在一条直线旁边．学问梳理1.回来直线：假如散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线旁边，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回来直线；2．回来方程：回来直线的方程，简称回来方程．3．回来方程的推导过程：(1)假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)；(2)设所求回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))__，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定参数；(3)由最小二乘法得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2),\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))))其中：eq\o(b,\s\up6(^))是回来方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是截距．[自我检测]1．过(3，10)，(7，20)，(11，24)三点的回来直线方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.75＋5.75x B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.75＋5.75xC.eq\o(y,\s\up6(^))＝5.75＋1.75x D.eq\o(y,\s\up6(^))＝5.75－1.75x解析：求过三点的回来直线方程，目的在于训练求解回来系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式．代入系数公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝1.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝5.75.代入直线方程，求得eq\o(y,\s\up6(^))＝5.75＋1.75x.故选C.答案：C2．已知x与y之间的一组数据：x01234y13579则y与x的线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a必过点()A．(1，2) B．(5，2)C．(2，5) D．(2.5，5)解析：线性回来方程肯定过样本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．由eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋3＋5＋7＋9,5)＝5.故必过点(2，5)．答案：C3．如图所示的两个变量不具有相关关系的有__________．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线四周；③中的点大都分布在一条直线四周；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．答案：①④授课提示：对应学生用书第41页探究一相关关系的推断[例1]某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)画出散点图；(2)推断y与x是否具有线性相关关系．[解析](1)散点图如下：(2)由图知，全部数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．方法技巧推断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，假如发觉点的分布从整体上看大致在一条直线旁边，那么这两个变量就是线性相关的，留意不要受个别点的位置的影响．跟踪探究1.有个男孩的年龄与身高的统计数据如下.年龄(岁)123456身高(cm)788798108115120画出散点图，并推断它们是否有相关关系？假如有相关关系，是正相关还是负相关？解析：散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．探究二求回来方程[例2]某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回来方程．[解析](1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝50，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝145，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1380于是可得，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回来方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.方法技巧求线性回来方程的步骤(1)计算平均数eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)).(2)计算xi与yi的积，求eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi.(3)计算eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i).(4)将结果代入公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，求eq\o(b,\s\up6(^)).(5)用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^)).(6)写出回来方程．跟踪探究2.已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的回来直线方程．解析：(1)散点图如图所示：(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝1＋6＋12＋20＝39.eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(13,10)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(13,10)x为所求回来直线方程．探究三回来方程的应用[阅读教材P90例]有一个同学家开了一个小卖部，他为了探讨气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/℃－504712151923273136热饮杯数15615013212013011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发觉气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回来方程；(4)假如某天的气温是2℃方法步骤：第一步，画散点图；其次步，求回来直线方程；第三步，预料．[例3]某5名学生的总成果和数学成果(单位：分)如表所示：学生ABCDE总成果x428383421364362数学成果y7865716461(1)画出散点图；(2)求y对x的线性回来方程(结果保留到小数点后3位数字)；(3)假如一个学生的总成果为450分，试预料这个学生的数学成果．[解析](1)散点图如图所示：(2)由题中数据计算可得eq\o(x,\s\up6(－))＝391.6，eq\o(y,\s\up6(－))＝67.8，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝770654，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝133548.代入公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(133548－5×391.6×67.8,770654－5×391.62)≈0.204，eq\o(a,\s\up6(^))＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，所以y对x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－12.086＋0.204x.(3)由(2)得当总成果为450分时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学生的数学成果大约为80分．方法技巧回来分析的三个步骤(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回来方程毫无意义；(2)求回来直线方程，其关键是正确地求得eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))；(3)依据直线方程进行预料．跟踪探究3.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up6(100),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的线性回来方程；(2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预料该家庭的月储蓄．解析：(1)由题意知n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(1,10)×80＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(1,10)×20＝2，又eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\