2025届全国100所名校高一上数学期末统考试题含解析

2025届全国100所名校高一上数学期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，，则函数的零点个数不可能是（）A.2个 B.3个C.4个 D.5个2．设，则的大小关系为（）A. B.C. D.3．已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5．直线的倾斜角为（）.A. B.C. D.6．如图所示，是顶角为的等腰三角形，且，则A. B.C. D.7．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B.C. D.8．过点，直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1 B.4C.1或3 D.1或49．下列函数中，在区间上为减函数的是（）A. B.C. D.10．设，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.12．已知，则的最大值为_______13．函数最小值为______14．已知角的终边经过点，则的值等于______.15．函数一段图象如图所示，这个函数的解析式为______________.16．已知集合，，则________________.（结果用区间表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值18．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）设，已知，求的值.19．如图，三棱锥中，平面平面，，，（1）求三棱锥的体积；（2）在平面内经过点，画一条直线，使，请写出作法，并说明理由20．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.21．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由可得或，然后画出的图象，结合图象可分析出答案.【详解】由可得或的图象如下：所以当时，，此时无零点，有2个零点，所以的零点个数为2；当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时有4个零点，有2个零点，所以的零点个数为6；当时，，此时有3个零点，有2个零点，所以的零点个数为5；当且时，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；当时，，此时的零点个数为2；当时，，此时有2个零点，有3个零点，所以的零点个数为5；当时，，此时有2个零点，有4个零点，所以的零点个数为6；当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以零点个数为4；当时，，此时有2个零点，无零点，所以的零点个数为2；综上：的零点个数可以为2、4、5、6，故选：B2、D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.3、D【解析】先化简，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，故选D.考点：三角函数二倍角公式、降次公式；4、D【解析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，可得答案【详解】当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为故选：D5、B【解析】设直线的倾斜角为∵直线方程为∴∵∴故选B6、C【解析】【详解】∵是顶角为的等腰三角形，且∴∴故选C7、A【解析】根据三角函数定义求解即可.【详解】角的终边经过点，即，则.故选：A.8、A【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.9、D【解析】根据基本初等函数的单调性及复合函数单调性求解.【详解】当时，在上单调递减，所以在区间上为增函数；由指数函数单调性知在区间上单调递增；由在区间上为增函数，为增函数，可知在区间上为增函数；知在区间上为减函数.故选：D10、D【解析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.【详解】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，则，由可得，即，所以，函数为上的减函数.由于，由题意可知，函数在上为减函数，则，函数在上为减函数，则，且有，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故答案：.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.12、【解析】消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值【详解】，，时，取到最大值，故答案为：13、【解析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立故函数的最小值为.故答案为：14、【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，，因此，.故答案为：.15、【解析】由图象的最大值求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到函数的解析式【详解】由函数的图象可得A＝2，T＝＝4π，∴解得ω＝∵图象经过（，0），∴可得：φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z，取k=0∴φ，故答案为：y＝2sin（x）16、【解析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.【详解】，，.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用诱导公式化简可得，然后利用二倍角公式求解即可；（2）由条件可得，，然后根据求解即可.【小问1详解】因为，所以【小问2详解】因为，所以，所以18、（1）；（2）.【解析】（1）根据降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）利用代入法，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】，当时，函数单调递增，即，所以函数的单调递增区间为；【小问2详解】由，因为，所以，而，所以，于是有，19、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取的中点，连接，因为，所以，由面面垂直的性质可得平面，求出的值，利用三角形面积公式求出底面积，从而根据棱锥的条件公式可得三棱锥的体积；（2）在平面中，过点作，交于点，在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，根据作法，利用线面垂直的判定定理与性质可证明.试题解析：（1）取的中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，，所以，因为，所以的面积，所以三棱锥的体积（2）在平面中，过点作，交于点，在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，由作法可知，，又因为，所以平面，所以，即20、【解析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.【详解】由题即根据奇函数定义可知原不等式为又因为单调递减函数，故，解得或又因为函数定义域为故，解得,所以综上得的范围为.21、（1）30°（2）（3）见解析【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），设AO与A′C′所成角为θ，则cosθ，∴θ＝30°，∴AO与A′C′所成角为30°.（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα＝|cos|