江西省上饶市铅山一中、横峰中学、广丰贞白中学2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

江西省上饶市铅山一中、横峰中学、广丰贞白中学2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B.C.2 D.2．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.3．在平行六面体中，点P在上，若，则（）A. B.C. D.4．高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（）A. B.C. D.5．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．不等式的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.7．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.8．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A.4 B.C.2 D.不确定9．曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.10．已知空间四个点，，，，则直线AD与平面ABC所成的角为（）A. B.C. D.11．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.12．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3C.9 D.81二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.14．若恒成立，则______.15．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.16．日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的___________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.18．（12分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由20．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.21．（12分）已知函数（a是常数）.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若，求a的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知.（1）求直线的方程；（2）平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离.当，即时，距离有最大值为.故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.2、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D3、C【解析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【详解】因为，，所以有，因此，故选：C4、D【解析】对4个单位分别编号，利用列举法求出概率作答.【详解】记福利院、社区、图书馆和医院分别为A，B，C，D，从4个单位中任选两个的试验有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个基本事件，它们等可能，其中有参加图书馆活动的事件有AC，BC，CD，共3个基本事件，所以参加图书馆活动的概率.故选：D5、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B6、B【解析】解不等式，由此判断必要不充分条件.【详解】，解得，所以不等式的一个必要不充分条件是.故选：B7、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.8、A【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A9、B【解析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B10、A【解析】根据向量法求出线面角即可.【详解】设平面的法向量为，直线AD与平面ABC所成的角为令，则则故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.11、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.12、A【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以值为1.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接进行求解即可；空二：利用之间的关系进行求解即可.【详解】空一：；空二：当时，，显然不适合上式，所以，故答案为：；14、1【解析】利用导数研究的最小值为，再构造研究其最值，即可确定参数a的值.【详解】令，则且，当时，递减；当时，递增；所以，即在上恒成立，令，则，当时，递增；当时，递减；所以，综上，.故答案为：115、【解析】求出等边的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可.【详解】为等边三角形且其面积为，则，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，点M为三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱锥体积的最大值故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要底面，再利用内接球，求出高，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题.16、①.②.快【解析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果，进而能够判断水的纯净度越高，净化费用增加的速度的快慢【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，所以，，所以，所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快.故答案为：，快.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程见解析；（2）.【解析】（1）根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小问2详解】（2）建系如图：设平面的法向量，，，，，，则，设，，，解得或（舍），，∴.18、（1）；（2）存在，方程为和.【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.【小问1详解】由题意得：，解得：，椭圆的方程为；【小问2详解】由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，由得：，则；，，，，，解得：，，满足条件的直线存在，方程为和.19、（1）；（2）存在，.【解析】(1)与焦点相同可求出c，将代入方程结合a、b、c关系即可求a和b；(2)直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立AB方程与椭圆方程，得到根与系数的关系；由得，结合韦达定理得k与m的关系；再由圆与直线相切，即可求其半径；最后再验证AB斜率不存在时的情况即可.【小问1详解】，由题可知，解得点，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设，设，代入，整理得，由得，即，由韦达定理化简得，即，设存在圆与直线相切，则，解得，所以圆的方程为，又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出线段中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.试题解析：（1）线段的中点为，∵，∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.∴圆的方程为.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.故满足条件的切线方程为或.【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解21、（1）函数在上单调递增，在上单调递减，极小值是，无极大值.（2）【解析】（1）由当，得到，求导，再由，求解；（2）将