2024八年级数学上册第十七章特殊三角形练素养2.利用勾股定理解题的九种常见题型习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第十七章特殊三角形集训课堂练素养2.利用勾股定理解题的九种常见题型

勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾

股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，说明含有平方

关系的几何问题，解决实际应用问题及最短路径问题、折叠

问题等.在解决过程中往往利用勾股定理列方程，有时需要

通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题.题型1利用勾股定理求线段长1.

在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进

行了如下的操作：操作一：如图①，将Rt△

ABC

纸片沿某条直线折叠，使

斜边两个端点

A

与

B

重合，折痕为

DE

.

123456789(1)如果

AC

＝5

cm，

BC

＝7

cm，可得△

ACD

的周长

为

⁠；【点拨】由翻折的性质可知

BD

＝

AD

，∴

AD

＋

DC

＝

BC

＝7

cm.∴△

ACD

的周长＝

CD

＋

AD

＋

AC

＝

BC

＋

AC

＝

7＋5＝12(cm).12

cm

123456789(2)如果∠

CAD

∶∠

BAD

＝1∶2，可得∠

B

的度数

为

⁠；【点拨】设∠

CAD

＝

x

，则∠

BAD

＝2

x

.由翻折的性质可知∠

BAD

＝∠

B

＝2

x

.∵∠

B

＋∠

BAC

＝90°，∴2

x

＋

x

＋2

x

＝90°.解得

x

＝18°.∴2

x

＝2×18°＝36°.∴∠

B

＝36°.36°

123456789操作二：如图②，李欢同学拿出另一张Rt△

ABC

纸片沿某

条直线折叠，使点

A

与点

E

重合，折痕为

CD

.

若

AB

＝10

cm，

BC

＝8

cm，请求出

BE

的长.123456789

∴

EA

＝3.6×2＝7.2(cm).∴

BE

＝

AB

－

AE

＝10－7.2＝2.8(cm).123456789题型2

利用勾股定理说明线段相等2.

如图，在四边形

ABFC

中，∠

ABC

＝90°，

CD

⊥

AD

，

AD2＝2

AB2－

CD2.求证：

AB

＝

BC

.

123456789【证明】∵

CD

⊥

AD

，∴∠

ADC

＝90°，即△

ADC

是直角三角形.由勾股定理，得

AD2＋

CD2＝

AC2.∵

AD2＝2

AB2－

CD2，∴

AD2＋

CD2＝2

AB2.∴

AC2＝2

AB2.∵∠

ABC

＝90°，∴

AB2＋

BC2＝

AC2.∴

AB2＋

BC2＝2

AB2.∴

BC2＝

AB2，即

AB

＝

BC

.

123456789题型3利用勾股定理说明线段之间的平方关系3.

如图，∠

C

＝90°，

AM

＝

CM

，

MP

⊥

AB

于点

P

.

求证：

BP2＝

BC2＋

AP2.123456789【证明】如图，连接

BM

.

∵

MP

⊥

AB

，∴△

BMP

和△

AMP

均为直角三角形.∴

BP2＋

PM2＝

BM2，

AP2＋

PM2＝

AM2.同理可得

BC2＋

CM2＝

BM2，∴

BP2＋

PM2＝

BC2＋

CM2.又∵

CM

＝

AM

，∴

CM2＝

AM2＝

AP2＋

PM2.∴

BP2＋

PM2＝

BC2＋

AP2＋

PM2.∴

BP2＝

BC2＋

AP2.123456789题型4利用勾股定理求四边形中线段长(构造法)4.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

AD

＝8，∠

A

＝60°，

∠

D

＝150°，四边形

ABCD

的周长为32.求

BC

和

CD

的

长度.123456789

解得

x

＝10.∴

BC

＝10，

CD

＝6.123456789题型5利用勾股定理求折叠中线段长(方程思想)5.

如图，三角形纸片

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝2，

AC

＝3.沿过点

A

的直线将纸片折叠，使点

B

落在边

BC

上

的点

D

处；再折叠纸片，使点

C

与点

D

重合，若折痕与

AC

的交点为

E

，则

AE

的长是(

A

)A123456789【点拨】由折叠的性质可得

AD

＝

AB

＝2，∠

B

＝∠

ADB

，

CE

＝

DE

，∠

C

＝∠

CDE

.

∵∠

BAC

＝90°，∴∠

B

＋∠

C

＝90°，∴∠

ADB

＋∠

CDE

＝90°，∴∠

ADE

＝90°，∴

AD2＋

DE2＝

AE2.设

AE

＝

x

，则

CE

＝

DE

＝3－

x

，

【答案】A123456789【点技巧】根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段和

角.在Rt△

ADE

中，设

AE

＝

x

，利用折叠的性质，表示

出各边长，列方程求解即可.123456789题型6利用勾股定理求动点中线段长6.

如图，∠

AOB

＝90°，

OA

＝40

m，

OB

＝15

m.一机器

人在

B

点处看见一球从

A

点出发沿

AO

方向匀速滚向

O

，

机器人立即从

B

点出发，沿直线匀速前进拦截球，在

C

处

截住球.球滚动速度与机器人行走速度相同，机器人行走

的路程

BC

为多少？123456789

123456789题型7利用勾股定理解传统数学文化问题7.

《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今

有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各

几何？其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线

长度恰好为1丈.如图，问门高、宽各是多少？(1丈＝10

尺，1尺＝10寸)123456789【解】由题意知门高

AB

为

x

尺，则宽为(

x

－6.8)尺.依题意，得(

x

－6.8)2＋

x2＝102，化简得

x2－6.8

x

－26.88＝0，因式分解得(

x

－9.6)(

x

＋2.8)＝0，∴

x

－9.6＝0或

x

＋2.8＝0，∴

x

＝9.6或

x

＝－2.8(舍)，则

x

－6.8＝2.8.∴门高9.6尺，宽2.8尺.123456789题型8利用勾股定理求立体图形中的最短距离8.

如图，圆柱形玻璃容器高10

cm，底面周长为30

cm，在外

侧距下底1

cm的点

S

处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形

容器的上口外侧距开口处1

cm的点

F

处有食物，求蚂蚁要

吃到食物所走最短路线的长度.123456789【解】如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接

SF

，过

点

S

作

SP

⊥

MN

于点

P

.

由题意可知

FP

＝10－2＝8(cm)，

SP

＝15

cm.在Rt△

SPF

中，

SF2＝

SP2＋

FP2＝152＋82＝289，∴

SF

＝17

cm.答：蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17

cm.123456789题型9利用勾股定理求动点中的最短距离9.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

BAD

＝∠

B

＝∠

D

＝

90°，

AD

＝

AB

＝4，

E

是

AD

中点，

M

是边

BC

上的一

个动点，

N

是边

CD

上的一个动点，求

AM

＋

MN

＋

EN

的最小值.123456789【解】如图，作

A

点关于

BC

的对称点

A1，连接

A1

M

，

作

E

点关于

DC

的对称点

E1，连接

E1

N

，

A1

E1.∵∠

B

＝∠

D

＝90°，点

A

和点

A1关于

BC

对称，点

E

和

点

E1关于

DC

对称，∴

AM

＝

A1

M

，

EN

＝

E1

N

，∴

AM

＋

MN

＋

EN

＝

A1

M

＋

MN

＋