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文档简介
冀教版八年级上第十七章特殊三角形集训课堂练素养2.“手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形对于“手拉手”的两个等腰直角三角形，如图①所示，有下
面的结论：(1)△
ADG
≌△
CDE
；(2)
AG
＝
CE
；(3)
AG
与
CE
的夹角是
90°；(4)
HD
平分∠
AHE
.
当两个等腰直角三角形变为正方形时，如图②所示，上面
的结论依然成立.模型1共顶点的等腰直角三角形1.
[2024·衡水五中模拟]已知△
ACB
和△
DCE
都是等腰直角
三角形，∠
ACB
＝∠
DCE
＝90°，连接
AE
，
BD
交于点
O
，
AE
与
DC
交于点
M
，
BD
与
AC
交于点
N
.
(1)如图①，求证：
AE
＝
BD
；12
12(2)如图②，若
AC
＝
DC
，在不添加任何辅助线的情况
下，请直接写出四对全等的直角三角形.【解】△
ACB
≌△
DCE
，△
EMC
≌△
BNC
，△
AON
≌△
DOM
，△
AOB
≌△
DOE
.
12【点方法】如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么会
得到一对全等三角形，且改变两个三角形的相对位置
并不会改变三角形的全等关系.12模型2共顶点的等边三角形2.
如图，在等边三角形
ABC
的边
AC
的延长线上取一点
E
，
以
CE
为边作等边三角形
CDE
，使
B
，
D
在
AE
的同侧，
AD
与
BE
交于点
O
，
AD
与
BC
交于点
P
，
BE
与
CD
交于
点
Q
，连接
PQ
.
【问题1】求证：△
ACD
≌△
BCE
.
12【证明】∵△
ABC
和△
DCE
都是等边三角形，∴
BC
＝
AC
，
CE
＝
DC
，∠
BCA
＝∠
DCE
＝60°.∴∠
ACD
＝∠
BCE
.
在△
ACD
和△
BCE
中，∵
AC
＝
BC
，∠
ACD
＝∠
BCE
，
DC
＝
EC
，∴△
ACD
≌△
BCE
(SAS).12【问题2】求∠
AOB
的度数.【解】∵△
ACD
≌△
BCE
，∴∠
DAC
＝∠
CBE
.
∵∠
ACB
＝∠
DCE
＝60°，∴∠
BCD
＝60°.∵易知∠
EDC
＝60°，∴∠
EDC
＝∠
BCD
.
∴
BC
∥
DE
.
∴∠
CBE
＝∠
DEO
.
∴∠
DAC
＝∠
DEO
.
∴∠
AOB
＝∠
DAC
＋∠
BEC
＝∠
BEC
＋∠
DEO
＝∠
DEC
.
∵易知∠
DEC
＝60°，∴∠
AOB
＝60°.12【问题3】写出图中其他的全等三角形，并选一个说明
理由.【解】△
ACP
≌△
BCQ
，△
CQE
≌△
CPD
.
选择△
ACP
≌△
BCQ
，理由如下：由【问题2】知∠
CAD
＝∠
CBE
，∠
BCD
＝60°.又∵∠
ACB
＝60°，∴∠
ACB
＝∠
BCQ
.
在△
ACP
与△
BCQ
中，∵∠
CAP
＝∠
CBQ
，
AC
＝
BC
，∠
ACP
＝∠
BCQ
，∴△
ACP
≌△
BCQ
(ASA).12【问题4】猜想
PQ
和
AE
的位置关系，并说明理由.【解】
PQ
∥
AE
.
理由如下：∵△
ACP
≌△
BCQ
，∴
PC
＝
QC
.
又∵
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