2024八年级数学上册第十七章特殊三角形练素养3.运用勾股定理解决最短路径问题习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第十七章特殊三角形集训课堂练素养3.运用勾股定理解决最短路径问题几何体中最短路径常见模型

类型1圆柱表面的最短路径问题1.

如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是12

m，高

AB

为

5

m，现在要以点

A

为起点环绕油罐表面建梯子，终点正

好建在点

A

正上方的点

B

处，则梯子最短需要(

D

)A.10

mB.11

mC.12

mD.13

m(第1题)D123452.

如图，圆柱形玻璃杯高为14

cm，底面周长为32

cm，在杯

内壁离杯底5

cm的点

B

处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好

在杯外壁，离杯上沿3

cm与蜂蜜相对的点

A

处，则蚂蚁从

外壁

A

处爬行到内壁

B

处的最短距离为

cm.(杯壁厚

度不计)20

(第2题)12345【点拨】如图.将杯子侧面的一半展开，作

A

关于

EC

的对称点A'，

连接A'B，交

CE

于点

F

，则A'B的长即为最短距离，过点

A'作A'D⊥

BE

，交

BE

的延长线于

D

，所以A'B2＝A'D2＋

BD2＝(32÷2)2＋(14－5＋3)2＝400，所以A'B＝20

cm.故答案为20.12345类型2台阶中的最短路径问题3.

如图是一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽、高分别

为20

dm，3

dm，2

dm，

A

和

B

是这个台阶两个相对的端

点，点

A

处有一只蚂蚁，想要爬行到点

B

处去吃可口的食

物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点

B

的最短路程是多少？12345【解】如图，三级台阶的平面展开图为长方形，长为20

dm，宽为(2＋3)×3＝15(dm)，连接

AB

，则蚂蚁沿着台

阶面爬行到点

B

的最短路程是

AB

的长.由勾股定理得

AB2＝202＋152＝252，∴

AB

＝25

dm.答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点

B

的最短路程是25

dm.12345类型3长方体表面的最短路径问题4.

如图，长方体盒子的长为15

cm，宽为10

cm，高为20

cm，点

B

距离

C

点5

cm.(1)一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点

A

到点

B

，那么蚂蚁爬行的最短距离

是

cm.25

12345①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面形成一个长方形，连接

AB

，如图①.∵长方体的宽为10

cm，高为20

cm，点

B

离点

C

的距离是5

cm，∴

BD

＝

CD

＋

BC

＝10＋5＝15(cm)，

AD

＝20(cm).在直角三角形

ABD

中，根据勾股定理，得【点拨】

12345②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面

形成一个长方形，连接

AB

，如图②.∵长方体的宽为10

cm，高为20

cm，点

B

离点

C

的距离是5

cm，∴

BD

＝

CD

＋

BC

＝20＋5＝25(cm)，

AD

＝10

cm.在直角三角形

ABD

中，根据勾股定理，得

12345③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面形

成一个长方形，连接

AB

，如图③.∵长方体的宽为10

cm，高为20

cm，点

B

离点

C

的距离是5

cm，12345∴

AC

＝

CD

＋

AD

＝20＋10＝30(cm).在直角三角形

ABC

中，根据勾股定理，得

∴蚂蚁爬行的最短距离是25

cm.故答案为25.12345(2)若从

C

处向盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入

盒子中，吸管应不少于

cm.【点拨】

当吸管、长方体的高及底面对角线的长正好构成

直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，

123455.

如图，有一个长方体纸盒，小明所在的数学合作小组研究

长方体的底面顶点

A

到长方体与

A

相对的顶点

B

的表面最

短距离.若该长方体的长为12

cm，宽为9

cm，高为5

cm，

请你帮助该小组求出

A

点到

B

点的表面最短距离.(结果精

确到1

cm.参考数据：21.592≈466，18.442≈340，

19.242≈370)12345【解】将长方形

ACDF

与长方形

FDBG

在同一平面上展

开，如图①所示，连接

AB

.

在Rt△

ACB

中，根据勾股定

理，得

AB2＝

AC2＋

BC2＝122＋(5＋9)2＝340.将长方形

ACDF

与长方形

DCEB

在同一平面上展开，如图

②所示，连接

AB

.

在Rt△

AEB

中，根据勾股定理，得

AB2＝

BE2＋

AE2＝52＋(12＋9)2＝466.12345将长方形

AHGF

与长方形

FDBG

在同一平面上展开，如

图③所示，连接

AB

.

在Rt△

ADB

中，根据勾股定理，得

AB2＝

AD2＋

BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以

A

点到

B

点的表面距离最短是

如图①所示的情况，此时

AB

≈18

cm.故

A

点到

B

点的表

面最短距离约为18

cm.12345【点方法】求空间几何体表面的最短距离问题，通常可将几何