2024八年级数学上册第十三章全等三角形练素养2.构造全等三角形的四大技法习题课件新版冀教版

冀教版八年级上第十三章全等三角形集训课堂练素养2.构造全等三角形的四大技法通过证明三角形全等来证线段相等、角相等是中考中常见的

中档题.证明三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”

和“AAS”，此外直角三角形全等的判定方法还有

“HL”，解题的关键是根据题意构造恰当的辅助线，然后

选择合适的判定方法.技法1连“公共边”法1.

如图，在一个四边形风筝

ABCD

中，

AB

＝

AD

，

BC

＝

DC

，分别在

AB

，

AD

的中点

E

，

F

处挂两根彩线

EC

，

FC

.

求证：

EC

＝

FC

.

1234【证明】如图，连接

AC

.

易得△

ABC

≌△

ADC

(SSS).∴∠

EAC

＝∠

FAC

.

∵

E

，

F

分别是

AB

，

AD

的中点，

∵

AB

＝

AD

，∴

AE

＝

AF

.

∴△

AEC

≌△

AFC

(SAS).∴

EC

＝

FC

.

1234技法2截长补短法2.

如图，在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，

P

是∠

BAC

的平分线

AD

上任一点.求证：

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

1234【证明】方法一

如图，在

AB

上取一点

E

，使

AE

＝

AC

，连接

PE

，∵

AP

为∠

BAC

的平分线，∴∠

EAP

＝∠

CAP

.

易得△

AEP

≌△

ACP

(SAS)，∴

PE

＝

PC

.

∵

AE

＝

AC

，∴

BE

＝

AB

－

AE

＝

AB

－

AC

.

在△

PBE

中，∵

BE

＞

PB

－

PE

，∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

1234方法二

如图，延长

AC

至点

M

，使

AM

＝

AB

，连接

PM

.

∵

AP

为∠

BAC

的平分线，∴∠

PAB

＝∠

PAM

.

易得△

ABP

≌△

AMP

(SAS)，∴

PB

＝

PM

.

在△

PCM

中，∵

CM

＞

PM

－

PC

，∴

AM

－

AC

＞

PB

－

PC

，∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

1234技法3倍长中线法3.

[2024·江苏南通期中]课外兴趣小组活动时，老师提出了如

下问题：如图①，△

ABC

中，若

AB

＝6，

AC

＝4，求

BC

边上的中线

AD

的取值范围.小明在组内经过合作交流，

得到了如下的解决方法：延长

AD

到

E

，

使

DE

＝

AD

，连接

BE

.

请根据小明的

方法思考：1234(1)由已知和作图能得到△

ADC

≌△

EDB

，得到

BE

＝

AC

，在△

ABE

中求得2

AD

的取值范围，从而求得

AD

的取值范围是

⁠.方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长

中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.1＜

AD

＜5

1234(2)如图②，

AD

是△

ABC

的中线，

AB

＝

AE

，

AC

＝

AF

，∠

BAE

＋∠

CAF

＝180°，试判断线段

AD

与

EF

的数量关系，并加以证明.1234【解】

EF

＝2

AD

.

证明：如图，延长

AD

到

M

，使得

DM

＝

AD

，连接

BM

，∴

AM

＝

AD

＋

DM

＝2

AD

.

∵

AD

是△

ABC

的中线，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

BDM

＝∠

CDA

，∴△

BDM

≌△

CDA

(SAS).∴

BM

＝

AC

.

∵

AC

＝

AF

，∴

BM

＝

AF

.

1234∵△

BDM

≌△

CAD

，∴∠

MBD

＝∠

ACD

.

∴

BM

∥

AC

.

∴∠

ABM

＋∠

BAC

＝180°.

∴∠

ABM

＝∠

FAE

.

又∵

AB

＝

AE

，∴△

ABM

≌△

EAF

(SAS).∴

AM

＝

EF

.

∵

AM

＝2

AD

，∴

EF

＝2

AD

.

1234技法4基础三角形模型法4.

[2024·石家庄外国语学校模拟]如图，已知∠

BAC

＝

90°，

AB

＝

AC

，

M

为

AC

边的中点，

AD

⊥

BM

于点

E

，交

BC

于点

D

，连接

DM

.

求证：∠

AMB

＝∠

CMD

.

1234【证明】如图，作∠

BAC

的平分线

AG

交

BM

于点

G

.

∵∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝45°，∠

MAG

＝∠

BAG

＝45°.∵

AE

⊥

BM

，∴∠

MAE

＋∠

AMB

＝90°.又∵∠

ABM

＋∠

AMB

＝90°，∴∠

ABM

＝∠

MAE

.

1234

∴△