2020-2021学年辽宁省名校联盟高一3月联合考试数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2020-2021学年辽宁省名校联盟高一3月联合考试数学试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，则集合（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集的概念和运算直接求解出结果.【详解】因为，，所以.故选：A.2．珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的颗叫“下珠”，从最右边两档的颗算珠中任取颗，则这颗是上珠的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出基本事件的总数为14，再求出这一颗是上珠包含的基本事件总数为，从而可求出其概率.【详解】从两档的颗算珠中任取颗，包含基本事件的总数为，这一颗是上珠包含的基本事件总数为，这一颗是上珠的概率为．故选：C3．设，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出命题p：，再根据充分必要性的定义来判断即可.【详解】，，即．不能够推出，而能够推出，命题是命题的必要不充分条件．故选：B4．如图，在平行四边形中，设，，若点在上，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平行四边形对边平行且相等的特点，将用表示即可得到答案.【详解】．故选：D.5．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得当时，的的范围，然后利用偶函数的对称性求解即可.【详解】当时，，若，则，解得．又是定义域为的偶函数，根据对称性可知时也满足，不等式的解集为．故选：C.6．若，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出比较容易化简的，在比较与的大小，结合底数e，以及，比较得，而，则可得到大小关系.【详解】，只需比较与的大小．，，，，又，．故选：A.7．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．下列函数没有局部对称点的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题中的定义对每一个选项依据定义判断即可.【详解】选项，显然存在，使得，有局部对称点，不满足题意；选项，由，得，代入，得．存在，使得，有局部对称点，不满足题意；选项，由，得，代入，得．令，，，解得，．存在局部对称点，不满足题意；选项，由，得，代入，得，无实数解，不存在局部对称点，满足题意．故选：D.8．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数的图象，结合图形求得，，，的范围，利用求得，又是方程的两实数根，利用韦达定理得，，利用参数的范围求得所求结果.【详解】作出函数的图象如图所示．根据条件，结合图形可知，，．得，，．又是方程的两实数根，，．，，，．故选：B.二、多选题9．下列命题正确的是（）A．，使得恒成立 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】AC【分析】对选项A，配方后即可判断，其他的选项举反例即可判断.【详解】选项，恒成立，正确；选项，当时，，错误；选项，当时，，正确；选项，当时，，错误．故选：AC.10．已知均为正实数，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则有最大值D．若，则的最大值为【答案】BC【分析】A．根据的大小和正负进行判断；B．根据的大小和正负进行判断；C．根据对数运算以及基本不等式进行计算并判断；D．根据指数幂的运算以及基本不等式进行计算并判断.【详解】选项，由有，，故错误；选项，，，，故正确；选项，若，则，取等号时，，故正确；选项，若，则，取等号时，即有最小值，故错误．故选：BC.11．我国是世界上严重缺水的国家之一，缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则（）A．位居民为样本B．估计居民月均用水量的中位数约为C．根据用水量对这位居民进行分层抽样，用分层抽样的方法抽取人，则在用水量中应抽取人D．该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数为【答案】ABCD【分析】结合样本的概念判断；结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断；结合分层抽样的概念即可判断；用频率估计概率即可判断.【详解】选项，位居民为样本，正确；选项，前组的频率之和为，，中位数位于由，可以估计居民月均用水量的中位数约为，正确；选项，根据用水量对这位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取人，则在用水量中应抽取人，正确；选项，估计万居民中月均用水量不低于的人数为，正确．故选：12．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与说法正确的是（）A．与在上均为增函数B．与的图象都关于原点对称C．，都有D．，都有【答案】AC【分析】对于A，利用单调性的定义进行判断；对于B，通过判断函数的奇偶性求解；对于C，直接计算即可；对于D，由前面的判断可知在上为增函数，在上为减函数，所以构造函数在上为增函数，然后利用零点存在性定理可得，使得，从而可进行判断【详解】选项A，设，则，，，，，，即，在上为增函数．同理可知在上也为增函数，故正确；选项B，两函数定义域都为，且，图象关于原点对称,，图象关于轴对称，故错误；选项C，，故正确；选项D，由选项，可知与在上均为增函数，则当时，，在上为增函数．又由选项B可知，为偶函数，在上为减函数．在上为增函数．，，，，使得，即，使得，故错误．故选：AC三、填空题13．已知点，则_______________________．【答案】【分析】先求出向量，再根据模的计算公式求解即可.【详解】，．故答案为：1314．写出一个对称轴为，且在上递减的函数_______________________．【答案】答案不唯一【分析】以熟悉的二次函数为例写一个即可.【详解】以二次函数为例，.故答案为：（答案不唯一）15．已知函数，，若，恒成立，则实数的取值范围是_______________________．【答案】【分析】将原不等式变形为，当时恒成立；当时恒成立，即可得出m的范围.【详解】由，，可化为，取有，得，令，①当时，由，有，，此时恒成立；②当时，此时函数单调递增，有．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：四、双空题16．已知函数，则有最_________（填“大”或“小”）值，为_______________________．【答案】大【分析】将函数变形为，令，则，然后利用二次函数的性质和复合函数的性质求解即可【详解】由，得，令，则，开口向下，对称轴为，此时．根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减．有最大值，为．故答案为：大，五、解答题17．设为平面直角坐标系中的四点，为原点坐标，且，，．（1）若，求点的坐标；（2）若与平行，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先设，再根据即可求解；（2）分别计算出与，再根据向量平行的条件即可求解.【详解】解：设，则．，当时，，解得，．，，，，若与平行，则，解得．18．已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出集合A，B，再求两集合的交集即可；（2）由，可得时成立，得；当时，得，从而可出实数的取值范围【详解】解：，当时，，．若，则当时，，．当时，，解得．综上所述，若，则实数的取值范围为．19．已知函数，其中为非零实数，且．（1）求出的值，并判断函数的奇偶性；（2）当时，判断的增减性，并求关于的不等式的解集．【答案】（1），奇函数；（2）在上单调递减，在上单调递增；或．．【分析】（1）根据已知条件求得关于的方程组，由此求解出的值；再根据定义判断的奇偶性即可；（2）先根据定义证明的增减性，然后结合增减性以及求解出不等式的解集.【详解】解：由题意，得，则，解得，，．又定义域关于原点对称，且，为奇函数．设，则．当时，，，，．即时，，在上单调递减．同理可得，在上单调递增．当时，且，，所以不等式解集为或．20．十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某校为了解学生对民法典的认识程度，分别从两个班随机抽查了名学生进行测试（满分分），并将测试成绩记录下来绘制出如图所示的折线图．（1）分别计算两个班级抽查学生的平均成绩；（2）我们把成绩在以内称为优秀，若从抽查的人中随机选取个，求该生为优秀的概率；（3）试根据抽取的样本数据的波动情况，估计哪个班级的成绩相对稳定，并说明理由【答案】（1）（分）；（分）；（2）；（3）估计乙班的成绩相对稳定；答案见解析．【分析】（1）根据折线图中数据以及平均数计算公式分别求解出两个班级抽查学生的平均成绩；（2）根据折线图分析成绩在以内的人数，然后即可求解出对应概率；（3）计算两个班成绩的方差，根据方差的大小估计哪个班的成绩更稳定.【详解】解：（分）；（分）．抽查的人中，成绩在以内的有，共个，该生为优秀的概率为．计算得，，，估计乙班的成绩相对稳定．21．随着国外新冠疫情控制措施不当，总书记强调逐步形成以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局．某公司为此加大核心技术研发投入，建立了一套关键部件的评价标准：耐久度与时间小时的关系为，，．（1）令，，求的最大值；（2）若的最大值记为，求函数的表达式；（3）若时，表示耐久度达到标准．问：当在什么范围内时，该部件耐久度达到标准？【答案】（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）先分析时的取值，再根据基本不等式求解出时的最大值，由此确定出的最大值；（2）先将写成分段函数的形式，然后分析各段函数的最大值，最后通过各段函数最大值的比较确定出的表达式；（3）根据的表达式求解不等式的解集即为所求的取值范围.【详解】解：①当时，；②当时，．，当且仅当时，等号成立，．综上所述，的最大值为1．当时，由可知．时，的最大值为；当时，的最大值为．解，得，，由，得，或，解得，或，即．当时，该部件耐久度达到标准．22．已知函数为奇函数．（1）求实数的值；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由列等式即可求出；（2）根据的单