2024-2025学年云南省德宏州民族一中大联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省德宏州民族一中大联考高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=1x−1}，B={x|x≤−1或x>1}，则A∪B=A.(−∞,−1]∪(1，+∞) B.R

C.(−∞,1)∪(1,+∞) D.⌀2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为(

)A.30 B.32 C.40 D.423.已知a，b为非零向量，a⋅b=1，b=(3,4)，则a在bA.15b B.125b C.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，A.−5 B.5 C.−52 5.函数f(x)=sin(3π2A.(kπ4,0)，k∈Z B.(kπ2,0)，k∈Z

C.(kπ,0)，6.(2x+1)(x−1x)5的展开式中A.10 B.20 C.−10 D.−207.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是正方形，EF//AB，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF=2AB=8，则ED与BF所成角的大小为(

)A.π2 B.π3 C.π48.已知函数f(x)满足f(x)−2f(−x)=sinx+tanx，若函数y=f(x)在[−3π,5π]上的零点为x1，x2，…，xn，则i=1A.8π B.9π C.16π D.17π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有(

)A.若z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，且a>c，b>d，则z1>z2

B.若m2−3m+2+(m2−1)i(m∈R)为纯虚数，则m=2

C.若关于x的方程x2+px+q=0，p10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，设A(x1,y1)，B(A.若直线l过焦点F，则|AB|=2x0+4

B.若直线l过焦点F，则|AF|⋅|BF|的最小值为4

C.若直线AB的斜率存在，则其斜率与x0无关，与y0有关

D.若11.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠π4+kπ2,k∈Z}，其导函数为f′(x)，f(π2A.f(0)=0 B.f′(x)为奇函数

C.nπ2(n∈N∗)是函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且x→2limf(x)−f(2)x−2=1，则曲线y=f(x)在点13.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为32.若A，B分别是椭圆的上、下顶点，14.已知不等式ex+2(1−x−a)<ex2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，bcosA+acosB=2ccos(2π3−B)．

(1)求B；

(2)若D是边AC上一点，且DC=2AD，BD=16.(本小题15分)

为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m，参加体能训练活动的男生人数为13m，不参加体能训练活动的男生人数为14m，参加体能训练活动的女生人数为14m．

(1)若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的2×2列联表，并依据小概率值参加不参加合计男生女生(2)按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X，求X的分布列和数学期望．

参考公式：χ2=n(ad−bc)α0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82817.(本小题15分)

如图，在正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=a，AB=AC=BC=b，BC的中点为D，过点P作底面ABC的垂线，垂足为H，O是线段PH上的一个动点．

(1)证明：OA⊥BC；

(2)若O是正三棱锥P−ABC外接球的球心，且a=b，求平面OAB与平面OBD夹角的余弦值．18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(2,0)，C是平面内的动点，且△ABC内切圆的圆心在直线x=1上．

(1)求动点C的轨迹W的方程；

(2)过点B作三条不同的直线l1，l2，l3，且l1⊥x轴，l2与W交于M，N两点，l3与W交于P，Q两点，M，P都在第一象限，直线MP，NQ与l1分别交于点19.(本小题17分)

一般地，n元有序实数组(a1,a2,…,an)称为n维向量(如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，…).类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)等，如a=(a1,a2,…,an)，则|a|=a12+a22+…+an2.若存在不全为零的r个实数k1，k2，…，kr，使得k1a1+k2a2+…+krar=0，则称向量组a1，a2，…，ar参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.A

6.B

7.A

8.B

9.BD

10.BCD

11.AC

12.x−y−1=0

13.214.(0,+∞)

15.解：(1)因为bcosA+acosB=2ccos(2π3−B)，

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcos(2π3−B)，

即sin(B+A)=2sinCcos(2π3−B)，

又A+B+C=π，所以sin(B+A)=sinC，sinC>0，

所以cos(2π3−B)=12，又B∈(0,π)，

所以2π3−B=π3，即B=π3；

(2)由题意得DC=2AD，

则BD=BA+AD=BA+13(16.解：(1)由题意可知，参加体能训练活动的男生人数为1200×13=400人，

不参加体能训练活动的男生人数为1200×14=300人，

参加体能训练活动的女生人数为1200×

参加

不参加

合计

男生

400

300

700

女生

300

200

500

合计

700

5001200零假设H0：学生参加体能训练活动的意愿与性别无关联，

则χ2=1200×(400×200−300×300)2700×500×700×500≈0.980，

因为0.980<2.706，

所以根据小概率α=0.1的独立性检验，我们推断H0成立，即没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联；

(2)按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，

则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，

由题意可得X的可能取值为0，1，2，

则P(X=0)=CX012P15484所以E(X)=0×159117.(1)证明：连接AD，PD，

∵P−ABC为正三棱锥，∴H为等边三角形ABC的中心，且PH⊥平面ABC，

又BC⊂平面ABC，∴PH⊥BC，

又∵D为BC的中点，∴H∈AD，AD⊥BC，

且PH∩AD=H，AD⊂平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，

∵OA⊂平面PAD，∴OA⊥BC．

(2)解：由题意可知：AD=32a,AH=33a,HD=36a，则PH=PA2−AH2=63a，

设正三棱锥P−ABC外接球的半径为R，则OA=OP=R，OH=PH−OP=63−R，

∵OA2=AH2+OH2，∴R2=(33a)2+(63a−R)2，

解得R=64a，∴OA=OP=64a，

则OH=PH−R=612a，可得OD=OH2+HD2=24a，

∵BC⊥平面18.解：(1)设△ABC内切圆的圆心为R，且与三边切于点D，E，F，

此时|CD|=|CF|，|AD|=|AE|，|BE|=|BF|，

所以|CA|−|CB|=(|CD|+|AD|)−(|CF|+|BF|)=|AD|−|BF|=|AE|−|BE|，

又A(−2,0)，B(2,0)，E(1,0)，

所以|AE|=3，|BE|=1，

则|CA|−|CB|=|AE|−|BE|=2，

所以动点C的轨迹W是以A，B为焦点的双曲线的右半支(顶点E除外)，

此时a=1,c=2,b=c2−a2=3，

则动点C的轨迹W的方程为x2−y23=1(x>1)；

(2)易知直线l1的方程为x=2，双曲线x2−y23=1的渐近线为y=±3x，

设直线l2的方程为x=m1y+2，直线l3的方程为x=m2y+2，m1≠m2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)19.解：(1)假设a，b，c线性相关，则存在不全为零的3个实数x，y，z，使得xa+ya+zc=0，

因为a=(1,1,1)，b=(−1,2,2)，c=(4,2,−1)，

则xa+ya+zc=(x−y+4z,x+2y+2z,x+2y−z)，

可得x−y+4z=0x+2y+2z=0x+2y−z=0，解得x=0y=0z=0，

故假设不成立，即a，b，c是线性无关的．

(2)①令F(x)=f(x)−g(x)=ex−ax−1，依题意，F(x)≥0对任意x∈R恒成立，

F′(x)=ex−a，