九年级同步第9讲：相似三角形的章节复习-教师版

PAGE2PAGE单元练习：相似三角形单元练习：相似三角形内容分析内容分析相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。知识结构知识结构比例线段比例线段运算法则比例的性质向量的分解平行向量定理运算律实数与向量相乘向量的线性组合向量的线性运算相似三角形的概念相似三角形的预备定理相似三角形的判定定理相似三角形的性质定理三角形一边的平行线性质定理及推论三角形一边的平行线判定定理及推论平行线分线段成比例定理相似形相似三角形选择题选择题下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组【难度】★【答案】A【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有③⑥一定相似．【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不可．若，下列各式中正确的个数有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【难度】★【答案】A【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验①不成立，②是对的；比的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的数，比值不变，③是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中⑥不正确的原因是．【总结】考查比和比例的基本性质．已知AB//CD，AD、BC相交于点O，下列比例式中正确的是（）ABCDOA．ABCDOC． D．【难度】★【答案】C【解析】∵∴,对应关系要弄清楚．【总结】考查“平行型”的A字模型．下列条件中能判定∽的有（）①，，，，，；②，，，，，；③，，，，，．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【难度】★【答案】C【解析】对应角相等，但对应边不成比例，①不成立；三边对应成比例，可以判定②成立；两边对应成比例及夹角相等判定③成立．【总结】考查相似三角形的判定定理．ABCDE12如图，已知，那么添加一个条件后，仍无法判定ABCDE12（）A． B．C． D．【难度】★【答案】B【解析】已知一组对应角相等，再添加任意一组对应角相等都可以判定相似，添加对应边成比例需要对应角的夹边成比例．【总结】考查相似三角形判定定理．如图，已知，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（）A． B． C． D．DABDABCP【答案】C【解析】相似比等于对应高之比，设P到AB的距离为，列等量关系，解得．【总结】考查相似三角形的性质，相似比等于对应高之比．如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（）A． B． C． D．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形面积之比是相似比的平方，联结三角形三边中点，将原三角形的面积四等分，所以黑色面积与白色面积之比是．【总结】考查相似三角形的性质．ABCO如图，在中，向量，，是（）ABCOA．有相同起点的向量 B．单位向量C．长度相等的向量 D．相等的向量【难度】★【答案】C【解析】同圆的半径相等，所以，，的长度是相等的．【总结】考查向量的方向、长度及相等向量的概念．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式中，正确的是（）①； ②//； ③； ④．A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【难度】★【答案】B【解析】单位向量的长度是单位1，方向是任意的，是单位向量，但并没有讲是向量方向上的单位向量，所以②是不对的．【总结】考查单位向量的概念．如图，在中，DE//BC，BC=6cm，，那么DE的长为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cmABCABCDE【答案】D【解析】∵，∴，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm．【总结】考查相似三角形性质的应用．已知线段a，b，c，求作线段x，使bx=ac，以下方法中不正确的是（）aaxcbA．B．axcbC．axcbD．axcb【难度】★★【答案】B【解析】利用平行线分线段成比例，可以验证A、C、D都成立，B选项不成立的原因是从作图的角度看，不能保证延长线段与线段相交成的线段长度一定为所求作．【总结】考查利用比例线段求作第四条线段的作图方法．如图，若P为的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证ABCP∽ABCPA． B．C． D．【难度】★★【答案】D【解析】如图，两个三角形已经有一组公共角，添加角度条件一定可以判定相似，若是添加对应边成比例不能使用到公共角的对边，所以D选项不能判定∽．【总结】考查相似三角形的判定定理．过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【难度】★★【答案】D【解析】过三角形一边上一点画直线与另一边相交，截得的三角形与 原三角形相似，这样的直线最多可画4条，每条边上两条，其中 包括“平行型”和“斜交型”，如图所示．（当这个点是直角三角 形斜边上一点时，最多可以画三条符合题意的直线）【总结】考查相似基本图形．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A． B．C． D．【难度】★★【答案】C【解析】线段的黄金分割点有两个，是对称的，其中三条线段之间存在一个黄金比例关系，，即,即．【总结】考查线段的黄金分割．

ABCDEO如图，在中，高BD、ABCDEOA． B．C． D．【难度】★★【答案】D【解析】基本图形“双垂型”，图中有4个三角形两两相似，都可以用“AA”来判定，，对应边成比例换成等积式，其中D选项比例关系不对．【总结】考查相似模型之“双垂型”．如图，AD是的中线，，把沿AD对折，点C落在 的位置，则的值为（）A． B． C． D．1【难度】★★【答案】C【解析】联结,因为翻折，所以，设交点为O，因为∠ADC＝45°，所以∠OCD＝45°，又因为根据三角形内角和可以证明，所以为等腰直角三角形，即．【总结】考查翻折的性质及等腰直角三角形的性质．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段 B．一个圆面C．圆上的一群孤点 D．一个圆【难度】★★【答案】D【解析】单位向量的长度是一样的，方向是任意的，将同一平面内的单位向量的起点归为同一点，它们的终点汇聚成了一个单位圆，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．【总结】考查单位向量的性质及圆的定义．

下面几个命题中，真命题的个数是（）（1）若，则；（2）两个向量、相等，则，//；（3）若，则四边形ABCD是平行四边形；（4）若四边形ABCD是平行四边形，则；（5）若，，则；（6）若//，//，则//．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【难度】★★【答案】B【解析】长度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正确；若，则四边形ABCD是平行四边形，这句话也是有漏洞的，当A、B、C、D四点共线时，构不成平行四边形，不过它的逆命题是正确的；其它选项都是正确的．【总结】考查平面向量的有关概念与性质．在四边形ABCD中，，，，其中、不平行，则四边形ABCD为（）A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【难度】★★★【答案】C【解析】∵，，，∴又∵，∴,∴,∵所以四边形ABCD是梯形．【总结】考查特殊四边形的判定定理及平面向量的线性运算．

acbABC如图，在中内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，acbABC的关系式是（）A． B．C． D．【难度】★★★【答案】A【解析】如图，可以证得，∴,因为三个正方形的边长分别为a，b，c，所以即，整理得．【总结】综合考查相似三角形的判定和性质运用．

填空题填空题A、B两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1:1000000，则A、B两地在地图上的距离是______厘米．【难度】★【答案】20厘米．【解析】厘米和千米的进率为：，设图上距离为厘米，由题意，得，解得．【总结】考查比例尺的运用．2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是______．【难度】★【答案】．【解析】设这个数为，若其它三个比例项分别为，且，要使最大，则取最大值，取最小值，所以，若的取值没有要求，这样的（与2、3、5组成比例式）有三个．【总结】考查比例的基本性质．若x:y:z=2:7:5，且x-2y+3z=6，则x=____，y=____，z=____．【难度】★【答案】．【解析】∵设则解得∴．【总结】考查学生对设“”法的理解应用．已知线段a=8厘米，b=9厘米，则线段a和b的比例中项是______．【难度】★【答案】．【解析】的比例中项，当为线段长时，取正值．【总结】考查比例中项的定义．ABCP如图，已知，AC=4，AP=2，则ABABCP【难度】★【答案】AB＝8．【解析】∵，且，∴则,∵，∴．【总结】考查相似三角形的判定与性质．8米4米0．8米h8米4米0．8米h要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为______米．【难度】★【答案】2.4米．【解析】根据平行线分线段成比例，得，解得．【总结】考查平行线分线段成比例的应用，也可以用相似三角形的性质求解．ABD如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点ABDBD长55厘米，则梯子长为______．【难度】★【答案】440厘米．【解析】设根据平行线分线段成比例，得即，解得，所以梯子的长为440厘米．【总结】考查平行线分线段成比例的应用．若两个相似三角形的面积比为2:9，则这两个三角形的对应中线的比是______．【难度】★【答案】．【解析】．【总结】考查相似三角形的性质：面积比是相似比的平方比，相似比也是对应中线之比．

在边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______；______；______．【难度】★【答案】．【解析】（1）,因为正方形边长为1，所以，即；（2）,即；（3），即．【总结】考查平面向量的线性运算．计算：______．【难度】★【答案】．【解析】．【总结】考查实数与向量相乘及平面向量的加减运算．若，则=______．【难度】★★【答案】．【解析】设，解得，所以．【总结】考查设“”法的理解应用．

点P是线段AB的黄金分割点，且AP=2，则AB=______．【难度】★★【答案】．【解析】（1）当为较长的线段时，，解得；（2）当为较短的线段时，,解得，．【总结】考查线段的黄金分割，等量关系，一条线段的黄金分割点有两个，需要学生具有分类讨论的思想．过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线．【难度】★★【答案】3条；4条．【解析】当这个点在直角边上时，可以画4条这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似；当这个点在斜边上时，可以画3条（有2条重合在一起）这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似，如图所示．【总结】考查相似基本图形，结论是“直4斜3”．

ABCDEFKH如图，AD=DE=EC，且AB//DF//EH，AH交ABCDEFKH【难度】★★【答案】．【解析】∵，∴∵∴,∵,∴,设，则，∴．【总结】考查平行线分线段成比例的性质运用．在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，如果BC=8厘米，AD:AB=1:4，那么的周长为_________．【难度】★★【答案】6厘米．【解析】∵,∴， ∵，∴, 因为，所以，．【总结】考查相似三角形的性质运用．如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★【答案】6．【解析】直角三角形的斜边长为18，则斜边上的中线为9，根据三角形重心的性质，重心到直角顶点的距离是斜边中线的．【总结】考查直角三角形重心的性质运用．

如图，在平行四边形ABCD中，，，则向量为______．（结ABCDO果用ABCDO【难度】★★【答案】．【解析】∵平行四边形对角线互相平分，∴，∵，∴．【总结】考查平面向量的线性分解及运算，结合平行四边形的性质．ABCD如图，将①；②；③；

④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组ABCD成一个真命题，则条件是______，结论是______．（只填序号）【难度】★★【答案】答案不唯一，比如条件是①，结论是③．【解析】这是一个典型的相似基本图形“母子型”，其中可以作为条件的选择不唯一，结论自然也不一，情况如下：（1）当条件为①时，结论可以是②③④⑤；（2）当条件为②时，结论可以是①③④⑤；（3）当条件为③时，结论可以是①②④⑤．【总结】考查相似三角形的判定和性质运用以及对基本图形“母子型”的理解运用．如图，正方形ABCD内接于等腰，，则PA:AQ=________．ABCABCDPQR【答案】．【解析】∵，∴，∵正方形，∴,∴，∵，∴,即．【总结】考查平行线分线段成比例联系等腰直角三角形和正方形的性质运用．ABCDEFG已知，正方形ABCD的边长为2，ABCDEFGAE，与CD交于点F，联结BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为______．【难度】★★★【答案】．【解析】延长相交于点，∵正方形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∵∴,∴，∵，∴∴．【总结】本题考点包括平行线分线段成比例、直角三角形的性质、正方形的性质，考查学生综合运用知识的能力．

解答题解答题已知，，，求的值．【难度】★★【答案】．【解析】∵∴，又∵，∴．【总结】考查等比性质的运用．已知，求x的值．【难度】★★【答案】．【解析】（1）当时，∴；（2）当时，，根据等比性质，；综上，．【总结】考查等比性质的运用，需要学生理解等比性质成立的条件，以及有分类的思想．ABCD如图，已知点D在的边AB上，且，．求 的值．ABCD【难度】★★【答案】．【解析】∵,∴∵∴，∴．【总结】考查相似三角形的判定与性质，需要理解相似三角形的相似比与面积比的关系．如图，已知点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，，BE=3cm，AB=6cm，矩形ABCD的周长为28cm，求CF的长．ABCABCDEF【答案】．【解析】∵矩形，，∴，∵,，可证,∴，∵∴．【总结】本题在矩形背景下考查“一线三直角”模型．ABCDEF如图，已知中，AB=AC，CD是边AB上的高，且ABCDEF边形BDEF是正方形．和相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】，证明略．【解析】∴∴，即，又∵，∴．【总结】本题结合直角三角形的性质考查相似三角形的判定，同时需要学生扎实的运算功底．ABCDEFOP如图，D、E、F分别是的边BC、AB、ABCDEFOPO，线段CO的延长线交AB于点P．求证：AB=3AP．【难度】★★【答案】证明略．【解析】∵，∴，∴，∵D是BC的中点，∴∵，∴，设则∴，，∴，即．【总结】考查平行线分线段成比例的综合运用．ABCDEF如图，在中，，点D为ABABCDEF点F，BE交AC于点E，CE=1cm，AE=3cm．（1）求证：∽；（2）求斜边AB的长．【难度】★★【答案】（1）证明略；（2）．【解析】（1）∵∴，∴,∵,∴∵∴∴,∵,∴；（2）∵，∴,∵∴，∵∴．【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合运用．

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