清单07求阴影部分面积的五大经典方法（5种题型解读（30题））

清单07求阴影部分面积的五大经典方法（5种题型解读（30题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】直接利用公式法求阴影部分面积1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB=6，则图中阴影部分的面积为（）

A．9π2-932 B．9π4【答案】A【分析】根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，再利用AD是BC边上的中线得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=3，则AD=33，易证得△AEF是等边三角形，H是等边三角形ΔAEF重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去2【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD=3，∴AD=33∵AE=AF=AD=33∴△AEF是等边三角形，∵EG⊥AC于点G，∴EG是∠AEF的角平分线，EG=3∴H是△AEF是重心，∴S∴图中阴影部分的面积=60π×故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的性质．2．（2023上·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考阶段练习）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2cm，以点A和点D为圆心画弧BF和CE，则图中阴影部分的面积为cm2（结果保留【答案】83π【分析】本题主要考查了多边形的内角和，扇形的面积公式等，确定阴影部分的面积是两个相同的扇形面积和是解题的关键．【详解】解：六边形的内角的度数是(6-2)×180°所以阴影部分的面积是120π×2故答案为：833．（2024上·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）如图是一个半径为2cm的圆，扇形AOB（阴影部分）的圆心角为144°，求扇形AOB的面积．（结果保留π【答案】8π【分析】本题考查扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解决本题的关键；根据S扇=n【详解】解：扇形AOB的面积为：144360∴扇形AOB的面积为8π54．（2023下·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（

A．4π B．13π4 C．3π D．【答案】B【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角DOE的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答．【详解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC和∴∠DOE=180°-1∴S△DOE故选：B．【点睛】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．5．（2023上·九年级课时练习）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分）．

(1)求这个扇形的面积；(2)若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），求此圆锥底面圆的半径．【答案】(1)π(2)1【分析】（1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；（2）根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．【详解】（1）解：如图，连接BC，

∵扇形BAC是圆心角为90°的扇形，∴∠BAC=90°，AB=AC，则BC为圆的直径，∴BC=22由AB2+A∴扇形的面积为90π（2）解：设该圆锥底面圆的半径为r，则2π解得r=12，即此圆锥底面圆的半径为【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．关键是熟悉圆锥的展开图和底面圆与圆锥的关系，以及利用所学的勾股定理、弧长公式及扇形面积公式求值．6．（2023·吉林长春·统考一模）小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片ABCD中，AD=30cm，取CD的中点O，以O为圆心，30cm长为半径作弧，分别交AD于点E，BC于点F，得到扇形纸片EOF（阴影部分），发现点E、F分别是边AD、BC的中点，则此扇形纸片围成圆锥形帽子的底面圆的周长为cm【答案】20【分析】根据正弦的定义、特殊角的三角函数值求出∠EOF，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：由题意得：ED=12AD=15在Rt△ODE中，sin∴∠DOE=30°，∴∠EOF=180°-30°-30°=120°，∴MN的长为：120π∴用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底面圆的周长为20π故答案为：20π【点睛】本题考查的是圆锥的计算，确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．【考试题型2】直接和差法求阴影部分面积7．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m,B是OA中点，则阴影部分的面积为（

A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．【答案】D【分析】本题主要考查了扇形的面积，用扇形OAD的面积减去扇形OBC的面积即可；掌握扇形的面积公式S=nπr【详解】解：阴影部分的面积为:120°×3故选D.8．（2023上·河北保定·九年级统考期中）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为(

A．π-32 B．23-π2 C【答案】C【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，连接AD，根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，BC=AB=AC=2，AD⊥BC，从而得到∠DAF=30°，CD=1，AD=3，再利用Rt【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∠DAF=30°，CD=1∴AD=A∴图中阴影部分的面积为：S阴影故选：C9．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为（

）

A．82-2π B．162-4π【答案】A【分析】连接CD，由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，AD=BD=2，由题意可得AC=BC=3AD=6，由勾股定理可得CD=42，再由S【详解】解：如图，连接CD，

，∵CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，AD=BD=2，∵分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，点E、F是线段AC的三等分点，∴AC=BC=3AD=6，∴CD=A∴=1==8=82故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键．10．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，扇形的圆心角为90°，半径OC=4,∠AOC=30°,CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是．【答案】8π【分析】本题考查扇形的面积公式，三角形的面积，解直角三角形等知识，根据S阴【详解】解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=90°-30°=60°，∵CD⊥OB，∴∠CDO=90°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2∴S故答案为：8π311．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）求阴影部分的周长及面积.（结果保留π）【答案】周长是(8π+8)cm，面积是4π【分析】本题考查了圆的周长公式和面积公式，掌握圆的周长公式：2πr，面积公式：πr【详解】解：小圆的周长=4×π=4π(cm大半圆的周长=1∴阴影部分的周长=4π+4π+8=(8π+8)cm小圆的面积=π×4大半圆的面积=1∴阴影部分的面积=8π-4π=4πcm【考试题型3】构造和差法求阴影部分面积12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是．【答案】3+π【详解】如图，连接AE，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，∴∠B=60°．∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，BE=AB=3，∴BE的长度为60π×3180=π．则阴影部分的周长为BE+BE=313．（2023上·广东广州·九年级铁一中学校考期中）如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA=4，则阴影部分的面积为（

）A．4π3 B．4π3+43 C．【答案】A【分析】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC=60°，∠COB=30°，得到OC=BC=12AB，进而得到OC为△AOB的中线，得到S【详解】解：连接OC，∵∠AOB=90°，∠B=30°，OA=4，∴AB=2OA=8，∵OA=OC,∠OAB=60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠COB=30°，∴CO=CB=4=12∴OC为△AOB的中线，∴S△AOC∴阴影部分的面积为S扇形故选A．【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．14．（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是（）

A．32+π3 B．33+【答案】A【分析】连接OE、OF，如图，根据切线的性质得到OE⊥AF，再利用勾股定理计算出EF=3，计算出∠FOE=60°，∠BOF=60°，则∠DOE=120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=【详解】连接OE、OF，如图，

∵弦AF切小半圆于点E，∴OE⊥AF，∵AB=4，∠BAF=30°，∴OA=OB=OF=2，OE=1，在Rt△OEF中，EF=∵∠BAF=30°，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∠OAF=30°，∴∠BOF=60°，∴∠DOE=120°，图中阴影部分的面积===π故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．（2022上·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，扇形OAB中，∠AOB=120°，OA=2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O

A．π2-32 B．2π3【答案】D【分析】连接OO'，证明O，【详解】解：如图，连接OO

∵O'∴∠OCO∵C是OB的中点，∴OC=CB=CO∴△OCO∴∠OO∴∠OO∴O，O∴阴影部分的面积为S扇形BOD-S△OB故选：D．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，证明O，16．（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，点O是半圆的圆心，BE是半圆的直径，点A,D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=4，则过点D作DC⊥BE于点C，则图中阴影部分的面积是（

）A．163π-43 B．163π-23【答案】B【分析】如图，连接OA，根据已知条件可得∠AOD=60°，△OAB是等边三角形，再证明△AOD为等边三角形，求出OC，【详解】解：如图：连接OA，∵∠ABO=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∵AD∥∴∠OAD=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOC=60°，∵DC⊥BE，∴∠DCO=90°，∴∠ODC=30°，∴OC=1∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影故选：B．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确将不规则图形面积转换成规则图形的面积是解题的关键．17．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考阶段练习）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为（

）

A．12π B．π C．2π D【答案】C【分析】本题考查了求扇形面积；根据题意得出S△OAC【详解】由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，∴S△OAC因此S阴影=故选C．【考试题型4】利用等积转换法求阴影部分面积图一图4分别为全等法、对称法、平移法、旋转法18．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（）

A．π8-18 B．π8-【答案】B【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．【详解】解：以OD为半径作弧DN，

∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD=OC，∠DOC=90°，∵∠EOB=∠FOD，∴S∴S故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．19．（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分的面积是（）

A．33 B．63 C．6 D【答案】A【分析】由正六边形从性质可得阴影部分的面积等于正六边形面积的一半，可得△ABC为等边三角形，再计算正六边形的面积即可得到答案.【详解】解：如图，∵正六边形，

∴图形①，②，③，④，⑤，⑥与上半部分的阴影部分的图形分别对应相等，∴整个阴影部分的面积为正六边形的面积的一半，∵正六边形，∴正六边形的面积等于6S△ABC,△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC=2,BD=DC=1，∴AD=3∴正六边形的面积为：6S∴阴影部分的面积为：33故选A【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，正六边形的性质，熟记正六边形是轴对称图形是解本题的关键.20．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将BC沿BC翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接AC，若AB=6，则图中阴影部分的面积为(

)

A．334+π3 B．53【答案】C【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积=扇形AOC的面积，然后根据题目中的数据，计算出△AOC的面积即可．【详解】解：连接OC，作OD⊥BC于点D，根据对称性可知，弓形CO与弓形BO面积相等，∴阴影部分的面积=△AOC的面积，根据垂径定理，∴OD=∵OD=12OC∴∠DCO=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴AC=1又∵∠ACB=90°，∴BC=∵点O是AB的中点，∴△AOC的面积是△ABC的面积一半，∴△AOC的面积是：S△AOC即阴影部分的面积是93故选：C．

【点睛】本题考查求不规则图形的面积、垂径定理、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（2023·河南周口·统考二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB的中点，点D为OA上一动点，点E为OB上一点，且CE⊥CD．若OA=2，则阴影部分的面积为（

）

A．π2-2 B．π-2 C．π-1 D【答案】B【分析】连接OC，作CF⊥OA于点F，作CG⊥OB于点G，求出CF=CG=2，证明∠FCD=∠GCE，得出△CFD≌△CGEAAS，根据【详解】解：连接OC，作CF⊥OA于点F，作CG⊥OB于点G，如图所示，

∵点C为AB的中点，∠AOB=90°，∴∠FCG=90°，∵点C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵OC=OA=2，∴CF=CG=2∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，∵∠FCG=90°，∴∠FCD=∠GCE，∵∠CFD=∠CGE=90°，∴△CFD≌△CGEAAS∴阴影部分的面积是：90π×22360故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明△CFD≌△CGE．22．（2023·山西吕梁·统考三模）如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分的面积等于（）

A．4π3 B．2π3 C．【答案】B【分析】连接OC,OE，根据线段垂直平分线的性质可得AC=OC,BE=OE，继而证明△OAC,△OBE是等边三角形，进而得出S扇形【详解】解：连接OC,OE，

∵CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，∴AC=OC,BE=OE，∴∠CAO=∠COA,∠EBO=∠EOB，∵OC=OA,OE=OB，S扇形∴OC=OA=AC,OE=OB=BE，∴△OAC,△OBE是等边三角形，∴S扇形∵∠AOC=∠BOE=60°，∴∠COE=60°，∵AB=4，∴OC=2，∴图中阴影部分的面积=S故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．23．（2023上·陕西安康·九年级统考期中）如图，该图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12cm2,∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为【答案】4【分析】本题主要考查不规则图形面积的计算方法，理解阴影部分占总面积的几分之几即可求解，根据图示，掌握不规则图形面积转化是解题的关键．【详解】解：三个叶片的总面积为12cm∴阴影部分的面积为=120故答案为：4．24．（2021下·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，边长为6的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，过点O作OE⊥OF，分别交AB、AD于点E、F，则图中阴影部分的面积为．

【答案】9-π【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积．如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AD于点N．证明OM=ON，△EOM≌△FON，可得S△EOM=S【详解】如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AD于点N．

∵点O是正方形ABCD的中心，OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM=ON，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，即∠EOM+∠MOF=90°，∵∠A=∠AMO=∠ANO=90°，∴∠MON=90°，即∠FON+∠MOF=90°，∴∠EOM=∠FON，∴△EOM≌△FON(ASA∴S∴S∴S阴影故答案为：9-π．25．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，在扇形AOB中，半径OA的长为3，点C在弧AB上，连接AC，BC，OC．若四边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为．

【答案】3【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式：S=nπr2【详解】解：四边形OBCA为菱形，∴OA=AC，∠BOC=∠AOC，S△OBC∴S∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=60°，∴==3故答案：3226．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，扇形OAB中，∠AOB=110°，OA=18，C是OB的中点，CD⊥OB交AB于点D，以OC为半径的CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（

）

A．12π+183 B．813+2π2 C．【答案】C【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去空白部分BDC即可求出阴影部分的面积．【详解】如图，连接OD、BD，

∵点C为OB的中点，∴OC=1∵CD⊥OB，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，∴CD=93∴S扇形∴S==81故选：C【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．27．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为．

【答案】2-1/【分析】从图中可看出：阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．然后依面积公式计算即可．【详解】解：连接OD，如图所示，

则OD=根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．∴S故答案为：2-1【点睛】主要考查了利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力．本题的解题关键是要利用圆的半径相等和勾股定理求出半径的长，再把阴影部分的面积转化为长方形ACDF的面积求解．【考试题型5】利用容斥原理求阴影部分面积28．（2019上·江苏南京·七年级校考期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC＝a，BC＝b．分别以直角边AC和BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是．（用含有a、b的代数式表示且结果保留π）【答案】πa2【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积－三角形的面积，然后列式计算即可．【详解】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是：S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，即阴影部分的面积