北京市丰台区2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学（B卷）

丰台区20232024学年度第二学期期中练习高一数学（B卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．1．已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是A．B．C．2．已知向量满足，则A．B．0C．D．73．已知向量满足，且，则A．12B．C．4D．24．各棱长均为的三棱锥的表面积为A．B．C．D．如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为A．B．C．D．6．若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为A．B．C．D．7．在△中，角的对边的长度分别为a，b，c，若，则等于A．B．C．或D．或8．在△中，若，则△一定是A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形9．设是非零向量，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”．他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则A．9B．12C．15D．16第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数=__________．12．已知单位向量满足，则向量与向量的夹角的大小为__________．13．体积为的球的表面积是．14．在梯形中，，，为中点，若，则=__________．15．已知非零向量，，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数x，y的值为x=________，y=__________．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题共14分）复数．（=1\*ROMANI）若复数z是实数，求实数m的值；（=2\*ROMANII）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（=3\*ROMANIII）在复平面内，复数z对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．17．（本小题共14分）已知向量．（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若向量与互相垂直，求的值．18．（本小题共13分）已知向量满足：，，夹角为．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）求；（=3\*ROMANIII）若与方向相同的单位向量为，直接写出在上的投影向量．19．（本小题共14分）在△中，，，．

（=1\*ROMANI）求△的面积；

（=2\*ROMANII）求c及sinA的值．20．（本小题共15分）在△中，，．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21．（本小题共15分）对于任意实数a，b，c，d，引入记号表示算式，即=，称记号为二阶行列式．是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值．（=1\*ROMANI）求下列行列式的值：①；②；（=2\*ROMANII）求证：向量与向量共线的充要条件是；（=3\*ROMANIII）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区20232024学年度第二学期期中练习高一数学（B）卷参考答案选择题题号12345678910答案DCBCDAABAB二、填空题11．12．13．14．15．（不唯一）；1三、解答题16．解：（=1\*ROMANI）因为复数是实数，所以，……………2分解得或；……………4分（=2\*ROMANII）因为复数是纯虚数所以，……………8分所以，解得；……………9分（=3\*ROMANIII）因为复数对应的点位于第三象限，所以，……………13分所以，解得m的取值范围是．……………14分17．解：（=1\*ROMANI）……………4分；……………8分（=2\*ROMANII），……………10分因为向量与互相垂直，所以，……………12分所以，解得．……………14分18．解：（=1\*ROMANI）……………4分（=2\*ROMANII）……………7分……………10分（=3\*ROMANIII）．……………13分19．（=1\*ROMANI）在△中，，，因为，可知，……………3分所以．……………6分（=2\*ROMANII）在△中，由余弦定理，可得，又，所以解得，……………10分由（=1\*ROMANI）可知，所以由正弦定理，可得，即，解得．……………14分解：（Ⅰ）在△中，因为，又，所以．……………2分因为，所以．……………4分因为，所以．……………6分（Ⅱ）选择条件①不符合要求，得0分；选择条件②：因为△中，，，，所以，即△为等腰三角形，其中．……………9分因为，所以．所以．……………12分设点D为线段AC的中点，在△中，．因为△中，，所以，即边上的中线的长度为．……………15分选择条件③：因为△中，，，，所以，即△为等腰三角形，其中．……………9分因为△的面积为，即，所以．……………12分设点D为线段AC的中点，在△中，．因为△中，，所以，即边上的中线的长度为．…15分21.解：（=1\*ROMANI）①；②.…4分（=2\*ROMANII）证明：若向量与向量共线，则：当时，有，即，当时，有，即，所以必要性得证．…7分反之，若，即，当c，d不全为0时，即时，不妨设，则，所以，因为，所以，所以，与共线，当且时，，所以与共线，充分性得证.综上，向