第06讲矩形（3大考点9种题型强化训练）（原卷版）

第06讲矩形1.经历探索矩形的概念与性质的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.2.知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想.一．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．三．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．题型一：利用矩形的性质求线段长一、填空题1．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，垂足为，则的长为．

2．（2023下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，F是边上的一点，，E是边的中点，平分，则的长是．

二、解答题3．（2022下·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形中，点E在上，平分．

(1)是否为等腰三角形？为什么？(2)若，，求长．4．（2023下·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形中，点E在上，且平分．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，，求的长．题型二：利用矩形的性质求角度一、填空题1．（2023下·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形的位置，旋转角为，若，则．

2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，且，若，则．

3．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，若，则°．

二、解答题4．（2023下·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．题型三：利用矩形的性质证明一、解答题1．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，矩形中，E、F分别为边和上的点，．

(1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形．2．（2023下·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在矩形中，为上两点，且．求证：．3．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交的延长线于点G，连接．

(1)求证：；(2)求的长．题型四：利用矩形的性质求面积一、单选题1．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（

）

A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确二、填空题2．（2023下·江苏镇江·八年级统考期中）小明同学在数学兴趣活动课上用图1的“七巧板”，设计拼成了图2的飞船，则飞船模型面积与矩形框的面积之比为．三、解答题3．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求四边形的面积．4．（2023下·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在矩形中，点E在边上，将此矩形沿折叠，点D落在点F处，连接，B、F、E三点恰好在一直线上．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，，求矩形的面积．题型五：利用矩形的定义判定矩形1．（2022下·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．题型六：利用对角线特征判定矩形1．（2023下·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知：如图，平行四边形，延长边到点E，使，连接、和，设交于点O，

(1)求证：四边形是平行四边形(2)试证明当时，四边形是矩形．题型七：利用三个角是直角判定矩形1．（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）如图，菱形中的对角线相交于点，，．求证：四边形是矩形．

题型八：折叠问题一、解答题1．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）如图①，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到．

(1)如图②，射线恰好经过点B．试求此时t的值．(2)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．2．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．

(1)求证：；(2)若点是的三等分点，，求的长．（保留根号，无需化简）3．（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图1，在矩形中，，，是边上一点，将沿着直线折叠，得到．

(1)请在图2上仅用圆规，在边上作出一点P，使P、E、C三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹），此时的长为_____；(2)请在图3上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分（不写作法，保留作图痕迹），此时的面积为_____．4．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O于坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，，将矩形沿折叠，使点A与点C重合．(1)求点E的坐标；(2)点P从O出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t，的面积为S，求S与t的函数关系式．(3)在（2）的条件下，当P在线段上，且时，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标．5．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线翻折，得到．

(1)当平分时，求的长；(2)连接，当时，求的面积．题型九：矩形的性质与判定综合一、解答题1．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求证：DA＝DO＝DE；②直接写出∠DOE的度数．2．（2022下·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上动点，且，连接AE、CF．(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；(2)连接AC，若，，E为BC中点，试求四边形AECF的面积．3．（2023下·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图在矩形中，，，点P，Q分别是，的中点，点E是折线段上一点（含端点）．沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求出的长；

4．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接，由直角三角形的性质可知．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．

(1)当时，___________；(2)当___________时，点P运动到的角平分线上；(3)请用含t的代数式表示的面积S．5．（2022下·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．一．选择题（共8小题）1．（2023春•宜兴市月考）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是A． B． C． D．2．（2023春•如东县期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是A．3 B． C． D．43．（2023春•江都区月考）如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边、的长分别为3和4，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是A． B． C． D．4．（2023春•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为A．1 B．1.5 C．2 D．2.45．（2023春•崇川区校级月考）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是A． B． C． D．6．（2023春•盐城期中）下列性质中，矩形不一定具有的是A． B． C． D．7．（2023秋•盱眙县校级月考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是A． B． C． D．8．（2023春•高邮市月考）如图，在中，，，，为边上一动点不与、重合），于，于，为中点，则的取值范围是A． B． C． D．二．填空题（共10小题）9．（2023春•盐城期中）矩形的对角线，相交于点，如图，已知，，则为．10．（2023春•姑苏区校级期中）如图，矩形纸片中，，为上一点，平分，，则的长为．11．（2023春•新吴区期末）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件．12．（2023春•启东市期中）如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接．若，，，则的最小值是．13．（2023春•秦淮区期末）如图，在矩形中，点的坐标为，则的长是．14．（2023春•东台市月考）如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则．15．（2023春•玄武区校级期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，，则经过秒后，四边形是矩形．16．（2023春•盐城期末）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，如所围成的四边形是矩形，则原四边形需满足的条件是．（只需写出一个符合要求的条件）17．（2023春•宿迁期末）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，于点，于点，则线段长的最小值为．18．（2023春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，，点是的中点，点在上运动，当是腰长为15的等腰三角形时，点的坐标为．三．解答题（共8小题）19．（2023春•江宁区月考）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是矩形．20．（2023春•金坛区期中）如图，在中，是边上一点，是的中点，过作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）连接，．如果是的中点，那么当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．21．（2023春•淮安区期中）如图，四边形是矩形，，，点、分别在、上，且，连接、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长度．22．（2023春•海州区期末）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，且四边形是矩形时，求的度数．23．（2023春•句容市期末）如图，平行四边形的对角线、交于点，为的中点．连接并延长至点，使得，连接，．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）当满足什么条件时，四边形为矩形，证明你的结论．24．（2023春•江都区期末）已知，如图，在中，，是边的中线，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连接交于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，