第一讲集合与常用逻辑用语复数讲义-高三数学一轮复习

MRC20242025第一讲集合与常用逻辑用语、复数MRC20242025知识点1（集合与常用逻辑用语）1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．3.集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA4.常用结论(1)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．(2)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.5.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p6.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．7.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)8.常用结论（1）充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.（2）含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.（3）命题p与p的否定的真假性相反．知识点2（复数）1.复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位，.(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.))(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d)．(4)共轭复数：a＋bi与a－bi互为共轭复数（实部相同，虚部互为相反数）．(5)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b)．2.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b)一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b)一一对应平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(—→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(—→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(—→))－eq\o(OZ1,\s\up6(—→)).4.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.5.复数的三角形式及其运算(1)复数对应点的坐标为，对应模长，，称做复数对应的辐角，内的辐角称作辐角的主值.复数亦可表示为.(2)两复数相乘等于模相乘，辐角相加；两复数相除等于模相除，辐角相减；复数的次幂等于模的次幂，辐角的倍.6.常用结论（1）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i()．（2）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0()．一、过关练习1.已知集合，，则AB.（用相应数学符号填空）2.已知则满足条件的有个.3.且,则实数的取值范围是.4.是的条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）5.已知区间若，则；若则.6.若求的值.7.在复数范围内求方程的解集.8.若是关于的实系数方程的一个根，求的值.9.已知求实数的值.10.已知分别求与的最大值与最小值.二、模拟试题1.(多选)已知集合，，若.则（）A.B.C.D.2.已知集合，，且，则实数的取值范围（）A.B.C.D.3.(多选)设是关于的方程的两根，其中.若（为虚数单位），则（）A.B.C.D.4.已知复数均不0，则（）A.B.C. D.5.已知集合，若，则的最小值为．三、高考真题2023年1.(2023年全国新高考Ⅱ卷1)在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2023年全国新高考Ⅱ卷2)设集合，，若，则（）A.2B.1 C. D.3.（2023年高考Ⅰ卷1）已知集合，,则（）A.B.C. D.{2}4.(2023年高考Ⅰ卷2)已知z=1−i2+2i，则z−zA.B.C.0 D.15.（2023年天津卷1）已知集合，则=（）A.B.C.D.6.(2023年天津卷2)“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件7.(2023年全国甲卷1)设集合，U为整数集，=（）A. B.C. D.8.(2023年全国甲卷2)若复数，则（）A.1B.0C.1 D.29.(2023年全国乙卷1)设z=2+i1+iA.B.C. D.10.(2023年全国乙卷2)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1<x<2}，则{x|x≥2}=（）A.∁U(M∪N) B.C.∁U(M∩N) D11.（2023年北京卷1）已知集合，则=（）A. B.C. D.12.（2023年北京卷2）在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.13.(2023年天津卷10)已知是虚数单位，化简结果为．2024年1.（2024年北京卷1）已知集合，，则=（）A.B.C. D.2.(2024年北京卷2)已知，则（）A.B. C. D.13.(2024年新课标2卷1)已知，则（）A.0B.1 C. D.24.(2024年新课标2卷2)已知命题p：，；命题q：，，则（）A.p和q都是真命题B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题5.(2024年新课标I卷1)已知集合，则（）A.B.C.D.6.(2024年新课标I卷2)若，则（）A.B.C.D.7.(2024年天津卷1)集合，，则（）A.B.C.D.8.(2024年天津卷2)设，则“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.(2024年全国甲卷理科1)若，则（）A.B. C. D.10.(2024年全国甲卷理科2)已知集合，则=（）A.B.C.D.11.(2024年天津卷10)已知是虚数单位，复数．选做：(2020·浙江卷，10)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素答案一、过关练习1.AB.2.4.3..4.充要.5.3；.