专题17锐角三角函数与解三角形问题（8类重点考向）

主题四平面几何专题17锐角三角函数与解三角形问题目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一同角三角函数的关系►考向二互余两角三角函数的关系►考向三相似三角形的判定与性质►考向四解直角三角形►考向五解直角三角形的应用►考向六解直角三角形的应用坡度坡角问题►考向七解直角三角形的应用仰角俯角问题►考向八解直角三角形的应用方向角问题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用.有时比较简单，有时难点较大不易得分，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。►考向一同角三角函数的关系1．（2023•大连模拟）下列选项中是有理数的是：（）①2cos245°﹣sin60°•tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【思路点拨】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可．【规范解答】解：①2cos245°﹣sin60°•tan60°＝＝1﹣＝，是有理数，故①符合题意；②sin215°+cos215°﹣π＝1﹣π，是无理数，故②不符合题意；③sin45°+π＝，是无理数，故③不符合题意；④sin90°+（π﹣3）0+12023＝1+1+1＝3，是有理数，故④符合题意；⑤＝，是无理数，故⑤不符合题意，综上所述，有理数有①④，故选：C．【真题点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键．2．（2023•封丘县模拟）计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．【思路点拨】（1）先算乘方和开方以及零指数幂，再算加减法；（2）将特殊角的三角函数值代入，再算乘方，然后计算乘法，最后算加减．【规范解答】解：（1）＝﹣4﹣1+1＝﹣4；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．【真题点拨】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．►考向二互余两角三角函数的关系3．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB【思路点拨】本题利用锐角三角函数的定义求解．【规范解答】解：A、sinA＝，sinB＝，sinA≠sinB，故不符合题意；B、sinA＝，cosB＝，sinA＝cosB，故B符合题意；C、tanA＝，tanB＝，tanA≠tanB，故不符合题意；D、cosA＝，tanB＝，则cosA≠tanB，故不符合题意；故选：B．【真题点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时熟练掌握锐角三角函数的定义是关键，此题比较简单，易于掌握．4．（2023•兰山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+cosB的值为．【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出sin30°，cos60°的值，进而得出答案．【规范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，则sinA+cosB＝sin60°+cos30°＝+＝．故答案为：．【真题点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．►考向三相似三角形的判定与性质5．（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【思路点拨】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【规范解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【真题点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．6．（2022•成都）（1）计算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式组：【思路点拨】（1）根据负整数指数幂，算术平方根、特殊锐角三角函数值、绝对值以及实数混合运算的方法进行计算即可；（2）利用解一元一次不等式组的解法进行解答即可．【规范解答】解：（1）原式＝2﹣3+3×+2﹣＝﹣1++2﹣＝1；（2）解不等式①得，x≥﹣1，解不等式②得，x＜2，把两个不等式的解集在同一条数轴上表示如下：所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【真题点拨】本题考查负整数指数幂，算术平方根、特殊锐角三角函数值、绝对值，实数混合运算以及一元一次不等式组，掌握负整数指数幂的性质，算术平方根、特殊锐角三角函数值、绝对值，实数混合运算的方法以及一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．7．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【思路点拨】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可．【规范解答】解：原式＝＝．【真题点拨】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质是正确解答的前提．►考向四解直角三角形解题技巧/易错易混1.分清直角三角形中的斜边与直角边.2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．3.正确应用勾股定理求第三边长．4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．5.锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.8．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（）A． B． C． D．【思路点拨】连接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．【规范解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故选：A．【真题点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD，AB的长．9．（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．【思路点拨】由等腰直角三角形的性质得到OB＝BD＝2cm，由平行线的性质推出BC＝OB，即可求出CD长，得到OC与尺上沿的交点C在尺上的读数．【规范解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．故答案为：（2+2）．【真题点拨】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质，推出BC＝OB，即可解决问题10．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【思路点拨】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．【规范解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．【真题点拨】本题考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解题的关键．►考向五解直角三角形的应用解题技巧/易错易混1.解直角三角形的应用此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.2.解直角三角形应用题应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．11．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（）A． B． C． D．【思路点拨】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再利用勾股定理得到关于a的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值．【规范解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，整理得：a2+a﹣12＝0解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合题意，舍去）．∴a+1＝4，∴．故选：D．【真题点拨】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．12．（2023•广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约21m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【思路点拨】根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．【规范解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案为：21．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下．如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龙”字雕塑CD的高度．B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路点拨】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB•tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB•tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD﹣BC即可得出答案．【规范解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，∵，∴BC＝AB•tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，∵，∴BD＝AB•tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），∴CD＝BD﹣BC＝23.94﹣14.04＝9.9（m）．答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m．【真题点拨】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义．►考向六解直角三角形的应用坡度坡角问题14．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【思路点拨】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．【规范解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故选：D．【真题点拨】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．15．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路点拨】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．【规范解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，∴BM＝AB＝150m＝EF，∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），答：登山缆车上升的高度DE为450m；（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，∴BD＝≈＝562.5（m），∴需要的时间t＝t步行+t缆车＝+≈19.4（min），答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．【真题点拨】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．19．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【思路点拨】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可；（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比较即可．【规范解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行线间的距离处处相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．（2）没有危险，理由如下：如图，过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m．∵平行线间的距离处处相等，∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴没有危险．【真题点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．►考向七解直角三角形的应用仰角俯角问题20．（2023•黄石）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为423米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）【思路点拨】根据题意得到∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，根据三角函数的定义得到BC＝≈＝1600（米），过D作DH⊥BC于H，根据矩形的性质得到CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，解直角三角形即可得到结论．【规范解答】解：由题意得，∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，∴BC＝≈＝1600（米），过D作DH⊥BC于H，则四边形ACHD是矩形，∴CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，∠E＝47.4°，∴＝1080（米），∴BE＝CH+HE﹣BC＝943+1080﹣1600＝423（米），答：地面目标运动的距离BE约为423米．故答案为：423．【真题点拨】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和正弦函数的定义是解题的关键．21．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是9.5米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．【思路点拨】由题意得，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到结论．【规范解答】解：由题意得，四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，在Rt△ADE中，∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，∴DE＝AD•tan21.8°≈20×0.4000＝8（m），∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m），答：气球顶部离地面的高度EC是9.5m．故答案为：9.5．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，正确地理解仰角的定义是解题的关键．22．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【思路点拨】延长BA交PQ的延长线于C，则∠ACQ＝90°，根据题意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到结论．【规范解答】解：延长BA交PQ的延长线于C，则∠ACQ＝90°，由题意得，BC＝225m，PQ＝200m，在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，∴CQ＝BC＝225m，∴PC＝PQ+CQ＝425（m），在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝，∴AC＝114.75m，∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m），答：奇楼AB的高度约为110m．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．►考向八解直角三角形的应用方向角问题23．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是6+6海里．【思路点拨】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【规范解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．【真题点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．24．（2023•潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）【思路点拨】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，从而可得∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，然后利用平角定义可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性质可得AC＝12千米，BC＝12千米，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而求出BD的长，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE的长，即可解答．【规范解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，∵AB＝24千米，∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，∴CD＝AC•tan45°＝12（千米），∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，∴输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．（2023•聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）【思路点拨】过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，根据矩形的性质得到DE＝AB＝520m，设PD＝xm，解直角三角形即可得到结论．【规范解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，则四边形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，设PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD＝≈m，∴BE＝AD＝m，∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J【思路点拨】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答．【规范解答】解：由题意得：某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），故选：B．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m【思路点拨】根据题意可得：AD⊥BD，然后设CD＝xm，则BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【规范解答】解：由题意得：AD⊥BD，设CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD•tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD•tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴灯塔的高度AD大约是36m，故选：B．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cosA的值是（）A． B． C． D．【思路点拨】由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．【规范解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cosA＝或cosA＝﹣（舍去），故选：C．【真题点拨】本题考查了同角三角函数的关系，由勾股定理得到sin2α+cos2α＝1是解题的关键．4．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．【思路点拨】根据tanA＝求出第三边长的表达式，求出cosA即可．【规范解答】解：如图：设BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故选：D．【真题点拨】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函数的定义．5．（2023•道县校级模拟）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，则sinA的值是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B＝1解答．【规范解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，∵sinB＝，∴sinA＝＝．故选：B．【真题点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握sin2A+sin2B＝1是解题的关键．6．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝【思路点拨】根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据立方根对C选项进行判断；根据特殊角的三角函数值对D选项进行判断．【规范解答】解：A．（a2）＝a6，所以A选项不符合题意；B．＝＝2，所以B选项不符合题意；C．＝2，所以C选项符合题意；D．cos30°＝，所以D选项不符合题意；故选：C．【真题点拨】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了幂的乘方．7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【思路点拨】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．【规范解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故选：C．【真题点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．8．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（）A．米 B．米 C．x•sinα米 D．x•cosα米【思路点拨】根据题意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．【规范解答】解：由题意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C两处相距米，故选：B．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2023•娄星区校级一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA＝．【思路点拨】利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案．【规范解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝＝cosA，所以cosA＝，故答案为：．【真题点拨】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．10．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【思路点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【规范解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【真题点拨】本题考查了立方根，特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．11．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【思路点拨】设AD＝t，根据已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【规范解答】解：设AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案为：．【真题点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是用放t的式子表示相关线段的长度．12．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为（，0）．【思路点拨】设C（a，0），结合A，B两点的坐标利用两点间的距离可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通过解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，利用平行线的性质可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解．【规范解答】解：设C（a，0），∴OC＝a，∵点A（1，0），点B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案为：（，0）．【真题点拨】本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．13．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为πkm（结果保留π）．【思路点拨】设OP＝OQ＝rkm．由FQ是⊙O的切线，可得cos∠FOQ＝，由此构建方程求出r，再利用弧长公式求解．【规范解答】解：设OP＝OQ＝rkm．由题意，FQ是⊙O的切线，∴FQ⊥OQ，∵cos∠FOQ＝，∴0.9＝，∴r＝6400，∴的长＝＝π（km）．故答案为：π．【真题点拨】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．14．（2023•城西区校级二模）阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°＝根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．【思路点拨】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【规范解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝×+×＝，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝∴BC＝AB×＝4×＝∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°∵sin∠B＝sin15°＝＝∴AC＝AB×＝【真题点拨】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．15．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．【思路点拨】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【规范解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．【真题点拨】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．16．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式组：【思路点拨】（1）根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可；（2）分别解出两个不等式，再写出不等式组的解集即可．【规范解答】解：（1）原式＝﹣1+1+4﹣＝4；（2）解不等式①，得：x＜，解不等式②，得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x．【真题点拨】本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，熟练掌握相关的知识是解答本题的关键．17．（2022•潍坊）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：＝＝＝﹣2小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．【思路点拨】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的定义，零指数幂性质解答即可；（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可．【规范解答】解：（1）④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0，原式＝＝28，故答案为：④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0；28；（2）原式＝（）•＝×＝，∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，所以x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∵x≠3，∴当x＝﹣1时，原式＝．【真题点拨】此题考查了实数的运算，解一元二次方程﹣因式分解法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．18．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．【思路点拨】过点A作AF⊥CD于点F，根据sinα的值设AF＝24x米，AB＝25x米，根据勾股定理求出BF的长，再根据tanβ的值即可求出x的值，从而求出A、B两点间的距离．【规范解答】解：过点A作AF⊥CD于点F，∴∠AFB＝90°，在Rt△ABF中，，∴设AF＝24x米，AB＝25x米，则由勾股定理得米，在Rt△AFE中，，∵BE＝20米，∴，解得x＝20，∴AB＝25x＝500米．答：A、B两点间的距离为500米．【真题点拨】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数值的定义是解题的关键．19．（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成30°角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140°时，传送带上点A处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）【思路点拨】设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC，则AC∥MN，由弧长公式求出AB的长，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．【规范解答】解：如图，设传送带上点A处的粮袋上升到点B，构建Rt△ABC，则AC∥MN，由弧长公式得：π（cm），∵AC∥MN，∴∠BAC＝∠NMA＝30°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝（cm），答：传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm．【真题点拨】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，弧长公式以及含30°角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（2023•连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【思路点拨】过点B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分别在Rt△ABE和Rt△CBF中分别解三角形求出BE，CF的长，二者相加就是CD的长．【规范解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，∵FD＝BE＝68.08m，∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1m．【真题点拨】本题主要考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握把实际问题转化成解直角三角形的问题是解决问题的关键．21．（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【思路点拨】过点C作CG⊥EF于G，过点E作EH⊥AB于H，根据正切的定义分别求出EG、FB、AH，计算即可．【规范解答】解：如图，过点C作CG⊥EF于G，过点E作EH⊥AB于H，∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，∴得矩形CDFG，矩形EFBH，∴CG＝FD＝50m，HB＝EF＝48m，在Rt△CGE中，CG＝50m，∠ECG＝α＝22°，则EG＝CG•tan∠ECG≈50×0.40＝20.00（m），∴CD＝FG＝EF﹣EG＝48﹣20.0＝28.00（m），在Rt△EFB中，EF＝48m，∠EBF＝α＝22°，则EF＝FB•tan∠EBF，∴48≈FB×0.40，∴FB＝120.00（m），在Rt△AHE中，EH＝FB＝120m，∠AEH＝β＝16.7°，则AH＝EH•tan∠AEH≈120×0.30＝36.00（m），∴AB＝AH+BH＝AH+EF＝36.00+48＝84.00（m），∴AB﹣CD＝84.00﹣28.00＝56.00（m），答：楼AB与CD的高度差约为56.00m．【真题点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．22．（2023•襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．【思路点拨】根据题意，找准直角三角形及三角函数即可．【规范解答】解：∵矩形BDEF中有EF＝BD＝4m，CE＝32m，∴CF＝32﹣4＝28m，∵tan∠CBF＝tan63.4°＝，∴2＝，即BF＝14m，∴CG＝BF＝14m，∵∠GCA＝45°，∴AG＝GC＝14m，∴AB＝BG﹣AG＝CF﹣AG＝28﹣14＝14m．答：铜像AB的高度为14m．【真题点拨】本题主要考查了三角函数的应用，关键是找准三角函数．23．（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方